Hermitesche und unitäre Matrizen I.284

Orthogonale Abbildung I.285

Eine lineare Abbildung $f:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ heißt orthogonal, wenn sie das Skalarprodukt unverändert lässt, also

$$\forall_{\mathbb{R}^{n}}^{\vec{v},\vec{w}}:f\left(\vec{v}\right)^{T}f\left(\vec{w}\right)=\vec{v}^{T}\vec{w}$$

• $f$ orthogonal $\Leftrightarrow$ $f$ längen- und winkeltreu (bleiben unverändert nach Abbildung)
• Sei $A$ die zu $f$ gehörende Matrix:
  • Alle reellen Eigenwerte von $A$ sind $1$ oder $-1$. (zuzüglich den Komplexen)
  • ist $\lambda$ Eigenwert von $A$, so ist auch $\bar{\lambda}$ Eigenwert von $A$
  • $f$ ist orthogonal $\Leftrightarrow$ $A^{T}A=E$ bzw. $A^{-1}=A^{T}$
  • siehe für weitere Eigenschaften unter sub:Unit=E4re-Matizen-I.284.
• Alle orthogonalen Abbildungen in $\mathbb{R}^{2}$ sind entweder Drehungen oder Spiegelungen.

Unitäre Matrizen I.284

Eine $n\times n$-Matrix mit Einträgen aus $\mathbb{C}$ heißt unitär, wenn $A^{-1}=\bar{A}^{T}$.

• Liegen alle Einträge in $\mathbb{R}$, so gilt $A$ orthogonal ( $A^{-1}=A^{T}$)
• Zeilenvektoren und Spaltenvektoren von $A$ bilden jeweils ein Orthonormalsystem.
• $\left\vert\det A\right\vert=1$
• Für alle Eigenwerte $\lambda$ von $A$ gilt $\left\vert\lambda\right\vert=1$.
• Die Eigenvektoren zu zwei unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal zueinander, also $\vec{u}_{1}^{T}\vec{\bar{u}}_{2}=0$.

Hermitesche Matrizen I.284

Eine $n\times n$-Matrix mit Einträgen aus $\mathbb{C}$ heißt hermitesch, wenn $A=\bar{A}^{T}$.

• Liegen alle Einträge in $\mathbb{R}$, so ist $A$ symmetrisch ($A=A^{T}$)
• Alle Eigenwerte von $A$ sind reell
• Die Eigenvektoren zu zwei unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal zueinander, also $\vec{u}_{1}^{T}\vec{\bar{u}}_{2}=0$.
• Für jeden Eigenwert stimmen geometrische und die algebraische Vielfachheit überein.
• $A$ ist diagonalähnlich
• Zu jeder hermiteschen (symmetrischen) Matrix $A$ gibt es eine unitäre (orthogonale) Matrix $B$, mit der $A$ in eine reelle Diagonalmatrix $D$ überführt werden kann.
  $\bar{B}^{T}AB=B^{-1}AB=D$