Gebilde

Ellipse

Ortslinie aller Punkte, die von zwei vorgegebenen Punkten (Brennpunkten) feste Abstandssumme haben. Die Normalform der Ellipsengleichng lautet

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$

• $a,b$ nennen sich Halbachsen (Schnittpunkt der Ellipse mit den Koordinatenachsen)
• $c^{2}=a^{2}-b^{2}$
• Brennpunkte in $\left(\begin{array}{c} -c\\ 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} c\\ 0\end{array}\right)$
• Exzentrizität von einer Ellipse $\varepsilon:=\frac{c}{a}\in\left[0,1\right)$
• Spezialfall $a=b\Rightarrow c=0\Rightarrow\varepsilon=0\Rightarrow$Kreis mit Radius $a$
• keine Asymptoten
• Entsteht z.B. durch Kegelschnitt mit Schnittebene die nur einen der beiden Kegel schneidet.

Parabel

Ortslinie aller Punkte, die von einem vorgegebenen Punkt $C$ (Brennpunkt) selben Abstand wie von einer vorgegebenen Geraden $g$ haben.

$$y=\frac{x^{2}}{4c}$$

• Scheitel der Parabel (Extremstelle) bei $\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\end{array}\right)$
• Brennpunkt bei $\left(\begin{array}{c} 0\\ c\end{array}\right)$
• Exzentrizität von einer Parabel $\varepsilon:=1$
• keine Asymptoten
• Entsteht z.B. durch Kegelschnitt mit Schnittebene parallel zu Kegelkanten

Hyperbel

Ortslinie aller Punkte die zu zwei vorgegebenen Punkten (Brennpunkte) festen Betrag der Abstandsdifferenz haben.

$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$

• diese Formel für Hyperbel die nach links/rechts geöffnet ist
• $a$ Schnitt der Hyperbelzweige mit der $x$-Achse
• $c^{2}=a^{2}+b^{2}$
• Brennpunkte bei $\left(\begin{array}{c} c\\ 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{c} -c\\ 0\end{array}\right)$
• Exzentrizität von einer Hyperbel $\varepsilon:=\frac{c}{a}>1$
• nach oben/unten geöffnet mit $-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
• Asymptoten $y=\pm\frac{b}{a}x$
• Entsteht z.B. durch Kegelschnitt mit Schnittebene die durch oberen und unteren Kegel geht

Drehung in $\mathbb{R}^{2}$

Ein Punkt $\vec{b}\in\mathbb{R}^{2}$ lässt sich mit Hilfe der Matrize $D\left(\alpha\right)$ um den Winkel $a$ drehen. $\vec{b}_{neu}=D\left(\alpha\right)\vec{b}$

$$D\left(\alpha\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha\end{array}\right)$$

• $D\left(-\alpha\right)=D^{-1}\left(\alpha\right)$
• Eigenwerte von $D\left(\alpha\right)$:
  $\lambda_{1/2}=\cos\alpha\pm i\sin\alpha=e^{\pm i\alpha}\in\mathbb{C}$
• ist eine orthogonale Abbildung

Spiegelung in $\mathbb{R}^{2}$

Ein Punkt $\vec{b}\in\mathbb{R}^{2}$ lässt sich mit Hilfe der Matrize $S\left(\alpha\right)$ um eine Gerade die den Winkel $a$ zur $x$ Achse einnimmt spiegeln. $\vec{b}_{neu}=S\left(\alpha\right)\vec{b}$

$$S\left(\alpha\right)=\left(\begin{array}{cc} \cos\alpha & \sin\alpha\\ \sin\alpha & -\cos\alpha\end{array}\right)$$

• ist eine orthogonale Abbildung