Komplex Konjungierte Zahl I.53

Die komplex konjungierte Zahl von $z=x+iy$ heißt:

$$\bar{z}=x-iy\left(=z^{*}\right)$$

(Spiegelung an der reellen Achse)

• $\bar{\bar{z}}=z$
• $\Re\left(z\right)=\frac{1}{2}\left(z+\bar{z}\right)$
• $\Im\left(z\right)=\frac{1}{2}\left(z-\bar{z}\right)$
• $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$
• $\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$
• $\frac{1}{\left(\bar{z}\right)}=\bar{\left(\frac{1}{z}\right)}$
• $z=\bar{z}\Leftrightarrow z\in\mathbb{R}$
• $z\bar{z}=\Re\left(z\right)^{2}+\Im\left(z\right)^{2}$
• Bei Matrizen mit Komplexen Einträgen:
  $\overline{\det\left(A\right)}=\det\left(\bar{A}\right)$