Polarkoordinaten I.60

$$z=x+iy=re^{i\varphi}=r\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)$$

• $\Re\left(z\right)=x=r\cos\varphi$
• $\Im\left(z\right)=y=r\sin\varphi$
• $\varphi=$Winkel des Komplexen Zeigers mit positiver Reeller Achse (Argument von $z$)
  $$\arg\left(z\right)=\varphi=\left\{ \begin{array}{cc} \arctan\left... ...\right) & x\geq0\\ \pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x<0\end{array}\right.$$

• $\left\vert z\right\vert=\left\vert e^{i\varphi}\right\vert=\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1$
• $\left\vert z\right\vert=\left\vert re^{i\varphi}\right\vert=\left\vert r\right\vert\left(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi\right)=\left\vert r\right\vert$
• $z=e^{i\varphi}\Leftrightarrow\bar{z}=e^{-i\varphi}$
• $r_{1}e^{i\varphi_{1}}r_{2}e^{i\varphi_{2}}=r_{1}r_{2}e^{i\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)}$
• $\left(e^{i\varphi}\right)^{n}=e^{i\varphi n}$
• Formel von Moivre
  $\left(\cos\varphi+i\sin\varphi\right)^{n}=\cos\left(n\varphi\right)+i\sin\left(n\varphi\right)$
• $\frac{r_{1}e^{i\varphi_{1}}}{r_{2}e^{i\varphi_{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}e^{i\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)}$
• $z_{k}=\sqrt[n]{z_{0}}=\sqrt[n]{r_{0}}e^{i\left(\frac{\varphi_{0}}{n}+\frac{k}{n}2\pi\right)}$
  $0\leq k\leq\left(n-1\right)$
• $a$, $b$ sind rechtwinklig zueinander
  $\left\vert\frac{a}{b}\right\vert=r\ i\Leftrightarrow a\perp b$