Fundamentalsatz der Algebra I.71

Zu jedem Polynom vom Grad $n\geq1$

$$p\left(z\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}z^{k},\quad a_{k}\in\mathbb{C},a_{n}\neq0$$

gibt es $n$ (nicht zwangsläufig unterschiedliche) komplexe Zahlen $z_{1},\ldots,z_{n}$, so dass

$$p\left(z\right)=a_{n}\prod_{k=1}^{n}\left(z-z_{k}\right)$$

für alle $z\in\mathbb{C}$ gilt. $z_{1},\ldots,z_{n}$ sind die Nullstellen des Polynoms. Diese Umformung nennt sich Faktorisieren in Linearfaktoren.

Es lässt sich auch nur ein Linearfaktor abspalten. Dann erhält man einen Linearfaktor und ein Restpolynom vom einem um 1 verringerten Grad.

$$p\left(z\right)=\left(z-z^{*}\right)r\left(z\right)$$