Konvergenzkriterien

Teilfolgen

$\left\{ a_{n}\right\}$ konvergent wenn jede ihrer Teilfolgen konvergent. II.13

Sandwitchtheorem II.15

Wenn: $\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\quad\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=a$
$a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$
dann folgt: $\lim_{n\rightarrow\infty}c_{n}=a$

Monotonie / beschränkt II.16

Jede monoton wachsende (monoton fallende) nach oben (nach unten) beschränkte Folge $\left\{ a_{n}\right\}$ ist konvergent.
$a=\sup\left\{ a_{n}\right\}$ (bzw. $a=\inf\left\{ a_{n}\right\}$)

Cauchy-Folge II.20

Jede Cauchy-Folge ist konvergent.
$\forall\varepsilon>0,k\in\mathbb{N}:\left\vert a_{n+k}-a_{n}\right\vert<\varepsilon$ definiert eine Cauchy-Folge

Häufungspunkt

Wenn bei einer beschränkten Folge der kleinste Häufungspunkt (Limes inferior: $\liminf$) gleich dem Größten (Limes superior: $\limsup$) ist, ist dies der Grenzwert der Folge II.21

$$\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a$$