Besondere Reihen

• Weitere Reihen siehe sub:wichtige-Reihen-II.154
• geometrische Reihe II.25
  $\sum_{v=0}^{n}q^{v}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
  (konvergent wenn $\left\vert q\right\vert<1$)
• harmonische Reihe II.27
  $\sum_{v=1}^{\infty}\frac{1}{v}$ (divergent)
• alternierende harmonische Reihe II.28
  $\sum_{v=1}^{\infty}(-1)^{v+1}\frac{1}{v}$ (konvergent)
• $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$
• $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$
• $\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
• $\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} m+k\\ k\end{array}\right)$= $\left(\begin{array}{c} m+n+1\\ n\end{array}\right)$
• $\sum_{k=0}^{n}k\left(\begin{array}{c} n\\ k\end{array}\right)=n2^{n-1}$

Eulersche Zahl $e$ II.34

Folgende Reihen sind absolut Konvergent gegen $e$.

$$\sum_{v=0}^{\infty}\frac{1}{v!}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{e}$$

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}=1$$