Konvergenz

Punktweise Konvergenz II.178

Eine Folge von Funktionen $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty},\; f_{n}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ konvergiert punktweise, wenn $\forall_{\left[a,b\right]}^{x}:\left(f_{n}\left(x\right)\right)_{n=1}^{\infty}$ konvergiert. Die durch $f\left(x\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)$ in $\left[a,b\right]$ erklärte Funktion heißt Grenzfunktion.

Man schreibt

$$f_{n}\left(x\right)\begin{array}{c} pktw.\\ \longrightarrow\\ n\rightarrow\infty\end{array}f\left(x\right)$$

Gleichmäßige Konvergenz II.178

Die Funktion $f_{n}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R},\;\left(n\geq1\right)$, und $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ seien beschränkt. Die Folge $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ konvergiert gleichmäßig gegen die Grenzfunktion $f$, wenn die folgende Beziehung gilt:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\;\max_{x\in\left[a,b\right]}\left\vert f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right\vert=0$$

Man schreibt

$$f_{n}\left(x\right)\begin{array}{c} glm.\\ \longrightarrow\\ n\rightarrow\infty\end{array}f\left(x\right)$$

• jede gleichmäßig konvergente Folge ist auch punktweise Konvergent.
• wenn alle $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ stetig $\Rightarrow$ $f$ ist stetig in $\left[a,b\right]$
• man kann in jedem Punkt zwei Grenzprozesse vertauschen:
  
  

  $$f\left(x_{0}\right) = \lim_{x\rightarrow x_{0}}\left(\lim_{x\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\right)$$

  $$= \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f_{n}\left(x\right)\right)$$

  $$= \lim_{x\rightarrow\infty}f_{n}\left(x_{0}\right)$$