Konvergenzkriterien

Cauchy-Kriterium für gleichmäßige Konvergenz II.178

Eine Folge $f_{n}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R},\;\left(n\geq1\right)$ beschränkter Funktionen konvergiert genau dann gleichmäßig gegen die beschränkte Grenzfunktion $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$, wenn:

$$\forall\epsilon>0:\exists n_{\epsilon}:\forall n,m>n_{\epsilon}:$$

$$\max_{x\in\left[a,b\right]}\left\vert f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right\vert<\epsilon$$

Majorantenkriterium II.182

Sei $\left(f_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ auf $\left[a,b\right]$ beschränkt, und $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ eine Zahlenfolge mit $\left\vert f_{n}\left(x\right)\right\vert\leq c_{n}$ für alle $x\in\left[a,b\right]$. Konvergiert $\left(c_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$, so konvergiert auch $\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)$ gleichmäßig auf $\left[a,b\right]$.