Potenzreihen II.185

Sei $\left(a_{k}\right)_{k=0}^{\infty}$ eine Folge und $x_{0}\in\mathbb{R}$. Die Reihe

$$\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}$$

heißt Potenzreihe mit Koeffizienten $a_{k}$ und Entwicklungspunkt $x_{0}$ (z.B. Taylorreihe).

Konvergenz / Konvergenzradius II.185

Sei $f=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}$ eine Potenzreihe, die an der Stelle $\tilde{x}$ konvergiert. Dann konvergiert die Reihe absolut und gleichmäßig in jedem Intervall $\left\vert x-x_{0}\right\vert\leq c$ für jedes $c<\left\vert\tilde{x}-x_{0}\right\vert$. Divergiert $f$ in $\tilde{x}$, so divergiert $f$ für alle $x$ mit $\left\vert x-x_{0}\right\vert>\left\vert\tilde{x}-x_{0}\right\vert$.

Wenn $D:=\left\{ x\vert f\left(x\right)\ \mathrm{konvergiert}\right\}$ der Definitionsbereich von $f$ ist, heißt $\rho:=\sup_{x\in D}\left\vert x-x_{0}\right\vert$ der Konvergenzradius von $f$.

• In $\mathbb{C}$ bildet $\rho$ einen Kreis um $x_{0}$
• über Punkte $x=x_{0}\pm\rho$ kann nichts ausgesagt werden
• $\rho=0$ Konvergenz nur bei $x_{0}$
• $\rho=\infty$ Konvergenz für alle $x$
• eine Potenzreihe ist innerhalb ihres Konvergenzradius stets eine stetige Funktion.

Konvergenzradius II.186

Sei $f=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}$ eine Potenzreihe. Dann ist

$$\rho=\frac{1}{\limsup_{k\rightarrow\infty}\sqrt[k]{\left\vert a_{... ...ight\vert}}=\lim_{k\rightarrow\infty}\left\vert\frac{a_{k}}{a_{k+1}}\right\vert$$

der Konvergenzradius. Die erste Formel ist die Hadamasche Formel (gilt immer). Die Zweite Formel gilt nur, wenn dieser Grenzwert auch existiert.

Integrieren / Differenzieren II.190

Sei $f=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}$ eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $\rho>0$. Dann gilt

$$g\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+1\right)a_{k+1}\left(x-x_{0}\right)^{k}$$

$$h\left(x\right)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_{k-1}}{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}$$

haben ebenfalls den Konvergenzradius $\rho$ und $g\left(x\right)=f'\left(x\right),\ h\left(x=\int_{x_{0}}^{x}f\left(t\right)dt\right)$.

Eindeutigkeitssatz für Potenzreihen II.191

Wenn zwei Potenzreihen in einem beliebig kleinen Intervall $\epsilon>0$ absolut konvergieren und übereinstimmen, sind sie bereits identisch ( $\forall_{\mathbb{N}}^{k}:a_{k}=b_{k}$).