Stetige Funktionen II.38

• $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ heißt stetig im Punkt $x_{0}$, wenn
  $$\forall\varepsilon>0,x\in D:\exists\delta_{\varepsilon}>0:\left\vert x-x_{0}\right\vert<\delta_{\varepsilon}\Rightarrow$$
  $$\left\vert f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right\vert<\varepsilon$$

• Stetig in D
  falls $f$ in in jedem Punkt $x_{0}\in D$ stetig ist.
• gleichmäßig Stetig
  $$\forall\varepsilon>0,x,x_{0}\in D:\exists\delta_{\varepsilon}>0:\left\vert x-x_{0}\right\vert<\delta_{\varepsilon}\Rightarrow$$
  $$\left\vert f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)\right\vert<\varepsilon$$
  (Die Steigung ist in D endlich, z.B. $y=\sin(x)$.
  $y=x^{2}$ ist in $\mathbb{R}$ nicht gleichmäßig stetig).

Kriterien für Stetigkeit

• Folgenkriterium II.40
  $f$ ist stetig im Punkt $x_{0}\subset D$, wenn die zu irgendeiner gegen $x_{0}$ konvergenten Folge $\left\{ \tilde{x}_{n}\right\} \subset D$ gehörigen Folge von Funktionswerten $\left\{ f\left(\tilde{x}_{n}\right)\right\}$ gegen $f\left(x_{0}\right)$ konvergiert.
  $$\lim_{n\rightarrow\infty}\tilde{x}_{n}=x_{0}\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(\tilde{x}_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$$
  $\Rightarrow f$ stetig in $x_{0}$.
• Ableitung II.68
  Wenn eine Funktion in $x_{0}$ differenzierbar ist, ist sie dort auch stetig.