Grenzwert von Funktionen

Definition II.46

$D=(a,b)\backslash\left\{ x_{0}\right\}$
$f:D\rightarrow\mathbb{R}$ hat den Grenzwert y, falls für jede gegen $x_{0}$ konvergente Folge,
$\left(x_{n}\right)$; $x_{n}\in D$; $\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x_{0}$ folgendes gilt:
$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(x_{n}\right)=y$
$y$ ist die stetige Fortsetzung von $f$ in $x_{0}$.
Somit wäre $\overline{f}(x)=\left\{ \begin{array}{cc} f(x) & x\in D\\ y & x=x_{0}\end{array}\right.$ stetig.

Linksseitiger Grenzwert II.46

Die Funktion $f:\left(a,x_{0}\right)\rightarrow\mathbb{R}$ besitzt in $x_{0}$ den linksseitigen Grenzwert y, mit Zuhilfenahme einer gegen $x_{0}$ konvergenten Folge:

$$\lim_{x\rightarrow x^{-}}f(x)=y$$

Rechtsseitiger Grenzwert II.47

Die Funktion $f:\left(x_{0},b\right)\rightarrow\mathbb{R}$ besitzt in $x_{0}$ den rechtsseitigen Grenzwert y, mit Zuhilfenahme einer gegen $x_{0}$ konvergenten Folge:

$$\lim_{x\rightarrow x^{+}}f(x)=y$$

Grenzwert im Punkt II.47

Eine Funktion besitzt in einem Punkt $x_{0}$ dann einen Grenzwert $y$, wenn ihr links-/rechtsseitiger Grenzwert übereinstimmen.

$$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=y$$

Grenzwert im Unendlichen II.49

Eine Funktion kann im Unendlichen einen Grenzwert besitzen. Z.B. $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0$

$$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{t\rightarrow0^{-}}f\left(\frac{1}{t}\right)$$

$$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\lim_{t\rightarrow0^{+}}f\left(\frac{1}{t}\right)$$

Sprungstelle II.50

Eine Funktion besitzt eine Sprungstelle im Punkt $x_{0}$, wenn:

$$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)\neq\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)$$

hebbare Unstetigkeit

Eine Funktion $f:(a,b)\backslash\left\{ x_{0}\right\} \rightarrow\mathbb{R}$ hat in $x_{0}$ eine hebbare Unstetigkeit, falls:

$$\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=y$$

existieren und übereinstimmen. Die Funktion $\overline{f}:(a,b)\rightarrow\mathbb{R},\;\overline{f}(x)=\left\{ \begin{array}{cc} f(x) & x\neq x_{0}\\ y & x=x_{0}\end{array}\right.$ heißt stetige Fortsetzung von $f$.

Regeln von de l'Hosptial II.86

Wenn $\lim_{x\rightarrow a^{\pm}}\frac{f(x)}{g(x)}$ zu $\frac{\pm0}{\pm0}$ oder $\frac{\pm\infty}{\pm\infty}$ führt, dann lässt sich der Ausdurch an der Stelle $a$ durch die Ableitung von $f$ und $g$ ersetzen.

$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Um einen Ausdruck, der zu $0\cdot\infty$ führt zu ersetzen, müssen die Funktionen einfach angepasst werden. So wird aus $f\cdot g=\frac{g}{\frac{1}{f}}$. Hier muss nur beachtet werden, dass hier $\left(\frac{1}{f}\right)'$ abgeleitet wird.

Grenzwertbildung mithilfe des Taylorpolynoms

Wenn $\lim_{x\rightarrow0^{\pm}}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ zu $\frac{\pm0}{\pm0}$ führt, lässt sich dies häufig durch eine Taylorentwicklung von Teilen von $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ (z.B. Teile des Nenners und des Zählers) umgehen. Dabei reicht es zumeist, die ersten 3 bis 5 Glieder des Polynoms hinzuschreiben. Anschließend muss versucht werden, $x$ so zu kürzen, das die Therme höherer Potenz durch den Grenzübergang wegfallen, und nur noch ein (einfacher) Bruch übrig bleibt.

• Achtung, nur für Grenzübergang gegen 0.

wichtige Grenzwerte

• $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}=0,\quad n\geq0$
• $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln\left(x\right)}{x^{n}}=0,\quad n>0$
• $\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[x]{x}=1$