Logarithmus- und Exponentialfunktion II.55

Denfinition II.56

(eigentlich über Potenzreihen definiert)

$$\ln x=\lim_{n\rightarrow\infty}2^{n}\left(\sqrt[2^{n}]{x}-1\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}2^{n}\left(1-\frac{1}{\sqrt[2^{n}]{x}}\right)$$

$\ln(x)$ ist eine stetige, streng monoton wachsende Funktion auf $\mathbb{R}_{>0}$ (II.57).

$\ln(x)$-Rechenregeln II.57

• $\ln(1)=0$
• $\ln\left(x_{1}x_{2}\right)=\ln\left(x_{1}\right)+\ln\left(x_{2}\right)$
• $\ln\left(\frac{x_{1}}{x_{2}}\right)=\ln\left(x_{1}\right)-\ln\left(x_{2}\right)$
• $\ln\left(x^{r}\right)=r\ln\left(x\right)\quad r\in\mathbb{Q}$
• $\left(\ln(x)\right)'=\frac{1}{x}$
• $\log_{b}\left(x\right)=\frac{\ln\left(x\right)}{\ln\left(b\right)}$

$e$-Funktion II.59

Umkehrfunkton von $\ln(x)$ heißt

$$e^{x}:=\exp x=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{n}$$

$f:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow\mathbb{R}\quad f:x\rightarrow\ln(x)$
$f^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_{>0}\quad f^{-1}:x\rightarrow\exp(x)$

$e^{x}$ stetig und streng monoton wachsend auf $\mathbb{R}$.

$e^{x}$-Rechenregeln II.59

• $\forall_{\mathbb{R}_{>0}}^{x}:e^{\ln x}=x$
• $\ln\left(e^{x}\right)=x$
• $e^{x_{1}+x_{2}}=e^{x_{1}}e^{x_{2}}$
• $\forall x<1:e^{x}\leq\frac{1}{1-x}$
• $1+x\leq e^{x}$
• $\left(e^{ax}\right)'=ae^{ax}$
• Wachstumsverhalten der Exponentialfunktion
  $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}=0,\quad n\geq0$

Allgemeine Exp. Funktion / Logarithmus II.62

$\forall a>0:a^{x}=e^{\ln(a)x}$ bzw. $\forall x>0:x^{b}=e^{b\ln(x)}$

$\forall a>0,a\neq1,x>0:\log_{a}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$