Differenzierbare Funktionen II.64

Definition II.64

Eine Funktion $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ heißt differenzierbar im inneren Punkt $x_{0}\in I$, wenn der Grenzwert

$$f'\left(x_{0}\right) = \lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}$$

$$= \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$$

$$= \frac{df}{dx}\left(x_{0}\right)=\frac{d}{dx}f\left(x_{0}\right)$$

existiert.

Ist $x_{0}$ ein Randpunkt des Intervalls $I$ mit $x_{0}\in I$, so heißt $f$ in $x_{0}$ links-/ bzw. rechtsseitig differenzierbar, wenn der links-/ bzw. rechtsseitige Grenzwert existiert. $f'\left(x_{0}\right)$ gibt die Steigung einer Tangenten von $f$ in $x_{0}$wieder. Die Prozedur des Ableiten ist eine lineare Abbildung $f:P\left(x\right)\rightarrow P'\left(x\right)$.

Kriterium für Differenzierbarkeit II.67

Eine Funktion $f:I\rightarrow\mathbb{R}$ ist genau dann differenzierbar im Punkt $x_{o}\in I$, wenn es ein $c\in\mathbb{R}$ und eine auf einer $\varepsilon$-Umgebung $U_{\varepsilon}(x_{0})\subset I$ erklärte Funktion $r(x)$ gibt, so daß

$$\lim_{x\rightarrow x_{o}}r(x)=0$$

und

$$f(x)=f(x_{0})+c(x-x_{0})+r(x)\left\vert x-x_{0}\right\vert$$

gilt.

Tangente II.68

$$t(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$$

Ableitung II.69

• 1-te Ableitung
  $f'(x)=\frac{d}{dx}f(x)$
• n-te Ableitung
  $f^{(n)}(x)=\frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x)$

Ableitungsregeln II.72

• Summenregel II.72
  $(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$
• Produktregel II.72
  $(f\ g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
• Quotientenregel II.72
  $\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}$
• Kettenregel II.75
  $(g\circ f)'(x)=g\left(f\left(x\right)\right)=g'(f(x))f'(x)$

Ableitung der Umkehrfunktion II.78

Die stetige Funktion $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ sei streng monoton und in $x_{0}\in\left(a,b\right)$ differenzierbar mit $f'(x_{0})\neq0$. Dann ist die Umkehrfunktion $f^{-1}:f\left(\left[a,b\right]\right)\rightarrow\left[a,b\right]$ in $f(x_{0})$ differenzierbar, und es gilt

$$\left(f^{-1}\right)'\left(f\left(x_{0}\right)\right)=\frac{1}{f'\left(x_{0}\right)}$$

bzw.

$$\left(f^{-1}\right)'\left(x_{0}\right)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}\left(x_{0}\right)\right)}$$

Ist $f$ stetig differenzierbar, dann ist auch $f^{-1}$ stetig differenzierbar.

• Möglichst $f$ in der Ableitung $f'$ wieder vorkommen lassen, da dies sich anschließend mit Hilfe der Umkehrfunktion gegenseitig aufhebt. Z.B. $\tan\left(x\right)'=1+\tan^{2}\left(x\right)$.

Ableitung von wichtigen Funktionen

Alle Ableitungen nach $x$ ( $\frac{d}{dx}f(x)$).

• $a'=0$
• $\left(ax^{b}\right)'=abx^{b-1}$
• $\left(\ln(x)\right)'=\frac{1}{x}$
• $\left(e^{bx}\right)'=be^{bx}$
• $\forall a>0:\ \left(a^{x}\right)'=\ln(a)a^{x}$
• $\left(v\left(x\right)^{u\left(x\right)}\right)'=v\left(x\right)^{u\left(x\righ... ...(x\right)\right)+v\left(x\right)\frac{u'\left(x\right)}{u\left(x\right)}\right)$
• $\sin(x)'=\cos(x)$
• $\cos(x)'=-\sin(x)$
• $\tan(x)'=\frac{1}{\cos^{2}(x)}$
• $\forall-1<x<1:\arcsin(x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$
• $\mathrm{arsinh}(x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$

Relatives Extremum II.80

Die Funktion $f$ besitzt an der Stelle $x_{0}$ ein relatives Extremum, dann gilt $f'(x_{0})=0$. Dies ist aber nicht hinreichend (nicht immer in umgekehrter Richtung gültig), da es sich auch um einen Sattelpunkt handeln könnte.

Satz von Rolle / Mittelwertsatz II.80

Die Funktionen $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ und $g:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ seien stetig und in $\left(a,b\right)$ differenzierbar.

• Satz von Rolle (wenn $a=b$)
  $\exists\xi\in\left(a,b\right):\ f'\left(\xi\right)=0$
• Mittelwertsatz
  $\exists\xi\in\left(a,b\right):\ f'\left(\xi\right)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
• Verallgemeinerter Mittelwertsatz (wenn $\forall x\in\left(a,b\right):g'(x)\neq0$) II.84
  $\exists\xi\in\left(a,b\right):\ \frac{f'\left(\xi\right)}{g'\left(\xi\right)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

Charakteristika von Funktionen II.82

• konstante Funktion
  Es gilt: $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ mit $f'(x)=0$
  $\Rightarrow f(x)=f(a)$
• beliebige Funktionen
  Es gilt: $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$, $g:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ und $f'(x)=g'(x)$
  $\Rightarrow f(x)=g(x)+f(a)-g(a)$

Monotoniekriterium II.84

Sei $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ stetig in $\left(a,b\right)$ differenzierbar. Wenn für alle $x\in\left(a,b\right)$:

• $f'(x)\leq0\Leftrightarrow f$ ist monoton fallend
• $f'(x)\geq0\Leftrightarrow f$ ist monoton steigend
• $f'(x)<0\Rightarrow f$ ist streng monoton fallend
• $f'(x)>0\Rightarrow f$ ist streng monoton steigend