Ober- und Untersummen II.92

Zerlegung (Partition) II.92

Sei $\left[a,b\right]$ ein abgeschlossenes Intervall und

$$a=x_{0}<x_{1}<\ldots<x_{n-1}<x_{n}=b.$$

Dann bildet die Menge der $n+1$ reellen Zahlen

$$P=\left\{ x_{0},\ldots,x_{n}\right\}$$

eine Partition von $\left[a,b\right]$.

$$\left\Vert P\right\Vert =\max_{1\leq k\leq n}\left\{ x_{k}-x_{k-1}\right\}$$

heißt Feinheit von $P$.

$$\Delta x_{k}:=x_{k}-x_{k-1}$$

Eine äquidistante Zerlegung ist wie folgt definiert

$$\Delta x_{k}=\frac{b-a}{n},\quad x_{k}=a+\frac{k\left(b-a\right)}{n}$$

Riemann-Summe II.103

Sei $P=\left\{ x_{0},\ldots,x_{n}\right\}$ eine Zerlegung von $\left[a,b\right]$ und

$$\xi_{k}\in\left[x_{k-1},x_{k}\right]\quad(k=1,\ldots,n)$$

Dann heißt

$$S(f,P):=\sum_{k=1}^{n}f(\xi_{k})\Delta x_{k}$$

eine Riemann-Summe.

• linke Riemann-Summe
  für $\xi_{k}=x_{k-1}$
  bei äuquidistanter Zerlegung
  $$S(f,P)=\sum_{k=0}^{n-1}\left(f\left(a+\frac{k\left(b-a\right)}{n}\right)\frac{b-a}{n}\right)$$

• rechte Riemann-Summe
  für $\xi_{k}=x_{k}$
  bei äuquidistanter Zerlegung
  $$S(f,P)=\sum_{k=1}^{n}\left(f\left(a+\frac{k\left(b-a\right)}{n}\right)\frac{b-a}{n}\right)$$

• untere Riemann-Summe
  für $m_{k}:=\inf\left\{ f\left(x\right)\vert x_{k-1}\leq x\leq x_{k}\right\}$
  $$\underbar{S}\left(f,P\right)=\sum_{k=1}^{n}m_{k}\delta x_{k}$$

• obere Riemann-Summe
  für $M_{k}:=\sup\left\{ f\left(x\right)\vert x_{k-1}\leq x\leq x_{k}\right\}$
  $$\bar{S}\left(f,P\right)=\sum_{k=1}^{n}M_{k}\delta x_{k}$$