Eigenschaften von Integralen II.99

Sei $f,g:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ integrierbar, $\alpha,\beta,c\in\mathbb{R}$

• integrieren entspricht einer linearen Abbildung:
  $\int_{a}^{b}\left(\alpha f\left(x\right)+\beta g\left(x\right)\right)dx=$
  $\alpha\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx+\beta\int_{a}^{b}g\left(x\right)dx$
• ``Dreiecksungleichung''
  $\left\vert\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\right\vert\leq\int_{a}^{b}\left\vert f\left(x\right)\right\vert dx$
• $\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{c}f\left(x\right)dx+\int_{c}^{b}f\left(x\right)dx$
• $\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=-\int_{b}^{a}f\left(x\right)dx$
• Sei $\forall x\in\left[a,b\right]:m\leq f\left(x\right)\leq M$.
  Dann folgt $m\leq\int_{a}^{b}\frac{f\left(x\right)}{b-a}dx\leq M$
• Mittelwertsatz der Integralrechnung
  $\exists\xi\in\left[a,b\right]:\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=f\left(\xi\right)\left(b-a\right)$
• Das Integrieren ist eine lineare Abbildung $f:P(x)\rightarrow\int P(x)$
• $\left\vert\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\right\vert\leq\max_{x\in\left[a,b\right]}\left\vert f\left(x\right)\right\vert\left(b-a\right)$