Flächen- und Stammfunktion / unbestimmtes Integral II.103

Sei $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ integrierbar

Flächenfunktion

 
$F\left(x\right):=\int_{a}^{x}f\left(t\right)dt\;\left(x\in\left[a,b\right]\right)$

unbestimmtes Integral

 
$F\left(x\right):=\int_{c}^{x}f\left(t\right)dt\;\left(x,c\in\left[a,b\right]\right)$

Stammfunktion

 
$F'\left(x\right):=f\left(x\right)\;\left(x\in\left[a,b\right]\right)$

• Alle drei Begriffe sind bis auf Feinheiten gleichwertig.
• Es gibt mehrere verschiedene $F\left(x\right)$ zu einer gegebenen $f\left(x\right)$ die sich nur durch eine Konstante unterscheiden
• Stammfunktionen sind in $\left[a,b\right]$ gleichmäßig stetig
• $\int_{a}^{b}f\left(t\right)dt)=F\left(b\right)-F\left(a\right)$
• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
  
  $$F'\left(x\right)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f\left(t\right)dt=f(x)$$
  • Integrieren ist Umkehroperation des Differenzieren und umgekehrt

partielle Integration / Produktintegration II.123

$$\int f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)dx=$$

$$f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-\int f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)dx$$

• $g$ und $f$ auf jeden Fall incl. Ableitungen herausschreiben
  • auf jeden Fall Probe (Ableiten) machen, man vertut sich sehr schnell
  • $p\left(x\right)e^{x}$ bzw. $p\left(x\right)\sin\left(x\right)$, ... sind auf diese Weise behandelbar
• Auf jeden Fall Probe!!!

Partialbruchzerlegung

Durch Partialbruchzerlegung lassen sich rationale Funktionen so schreiben, dass sie sich leichter integrieren lassen. Dabei kann folgendes Schema angewandt werden.

1. Polynomdivision, und die Funktion in der Form $\frac{z\left(x\right)}{n\left(x\right)}=g\left(x\right)+\frac{r\left(x\right)}{n\left(x\right)}$ schreiben.
2. Den Rest $r\left(x\right)$ durch Partialbruchzerlegung vereinfachen, dazu $n\left(x\right)$ in Linearfaktoren $\frac{z\left(x\right)}{n\left(x\right)}=g\left(x\right)+\frac{A_{1}}{n_{1}\left(x\right)}+\ldots+\frac{A_{k}}{n_{k}\left(x\right)}$ zerlegen. Jeder dieser Linearfaktoren wird zu einem Nenner eines Partialbruchs.
   • Falls ein Linearfaktor $m>1$ mal vorkommt, muss man ihn in mehrfach als Nenner verwenden, und zwar so, das er als ganzen in den Potenzen $1$ bis $m$ vorkommt.
   • Falls sich ein Nenner vom Rang $m$ (im Reellen) nicht mehr weiter Zerlegen lässt, ist es möglich ihn als ganzes beizubehalten. Dafür muss im Zähler ein Polynom vom Grad $m-1$ angenommen Werden, d.h. $m$ Unbekannte stehen vor den jeweiligen $x$ Potenzen auf dem Bruchstrich.
3. Jedem Partialbruch eine Unbekannte $A_{k}\in\mathbb{K}$ zuordnen.
4. Hauptnenner des Partialbruchs bilden und ausmultipizieren
5. Nach gleichen Potenzen von $x$ sortieren.
6. Unbekannte durch Koeffizientenvergleich bestimmen.
   • mit Hilfe lin. Gleichungssystem oder
   • durch Einsetzen passender Werte für x, so das immer alles bis auf eine Therm den Faktor 0 hat, und so wegfällt. So lässt sich dieser Therm dann direkt auswerten.
7. Kontrolle!!!
8. Stammfunktion der Umgeformten Gleichung bestimmen. Fertig!!

Substitution II.126

$$\int f\left(\phi\left(t\right)\right)\cdot\phi'\left(x\right)\ dt=\left(\int f\left(x\right)dx\right)_{x=\phi\left(t\right)}$$

$$\int f\left(x\right)\ dx=\left(\int f\left(\phi\left(t\right)\right)\cdot\phi'\left(t\right)\ dt\right)_{t=\phi^{-1}\left(x\right)}$$

1. Gebrauchsanweisung
   1. Eine passende Ersetzung suchen
      1. $t=g\left(x\right)$
      2. diese Ableiten $\frac{dt}{dx}=g'\left(t\right)=\ldots$
      3. umstellen $dx=\frac{dt}{g'\left(t\right)}=\ldots$
   2. Im Integral Substituieren mit Hilfe von (a).i (bzw. $x=g^{-1}\left(t\right)=\ldots$) und (a).iii
   3. Versuchen Stammfunktion zu bilden
      1. wenn es nicht klappt, evtl. andere Substitution versuchen
      2. evtl. passend klammern, um bekannte Integrale zu Nutzen
   4. Im Ergebnis (Stammfunktion) zurücksubstituieren mit (a).i
2. Gebrauchsanweisung
   1. Eine passende Ersetzung suchen
      1. $x=\phi\left(t\right)$
      2. diese Ableiten $\frac{dx}{dt}=\phi'\left(t\right)=\ldots$
      3. umstellen $dx=\phi'\left(t\right)dt=\ldots$
   2. Umkehrfunktion bilden $t=\phi^{-1}\left(x\right)$
   3. Im Integral Subtituieren mit Hilfe von (a).i und (a).iii
   4. Versuchen Stammfunktion zu bilden
      1. wenn es nicht klappt, evtl. andere Substitution versuchen
      2. evtl. passend klammern, um bekannte Integrale zu Nutzen
   5. Im Ergebnis (Stammfunktion) zurücksubstituieren mit (a).i

• Beide Methoden äquivalent durch Regel der Ableitung der Umkehrfunktion.
• In der Tabelle cap:Substitution-unbestimmten-Int hat man eine Übersicht von geeigneten Substitutionen.
• So Klammern und Substituieren, das es auf etwas bekanntes (z.B. Ableitungen von Trigonometrischen-, Hyperbolischen- oder Areafunktioen) zurückführen lässt.
• Auf jeden Fall Probe!!!

Table 2: Substitution zur unbestimmten Integration ($R$ ist eine rationale Funktion in $x,y$)

Funktion	Methode	$t$	$x$
$R\left(x\right)$	Polynomdivision + Partialbruchzerlegung
$R\left(x,\sqrt[k]{ax+b}\right)$	Substitution	$t=\sqrt[k]{ax+b}$	$x=\frac{t^{k}}{a}-\frac{b}{a}$
$R\left(x,\sqrt[k]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)$	Substitution	$t=\sqrt[k]{\frac{ax+b}{cx+d}}$	$x=\frac{b-dt^{k}}{ct^{k}-a}$
$R\left(\sin\left(ax\right),\cos\left(ax\right)\right)$	Substitution	$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$	$x=2\textrm{arctan}\left(t\right)$
$R\left(e^{ax},e^{-ax}\right)$	Substitution	$t=e^{ax}$	$x=\frac{\ln\left(t\right)}{a}$
$R\left(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c}\right)$	Substitution	$t=\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^{2}}}$ bzw. $t=\frac{2ax+b}{\sqrt{b^{2}-4ac}}$