Satz von Taylor II.141

Die Funktion $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ sei in $\left[a,b\right]$ $n$-mal stetig differenzierbar und im offenen Intervall $\left(a,b\right)$ $\left(n+1\right)$-mal differenzierbar. Sei $x_{0}\in\left[a,b\right]$. Dann gibt es zu jedem $x\in\left[a,b\right]$ ein $\xi$ mit $x_{0}<\xi<x$ oder $x<\xi<x_{0}$ mit

$$f\left(x\right) = \sum_{k=0}^{n}\left(\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}\left(x-x_{0}\right)^{k}\right)$$

$$+\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}$$

Taylorpolynom / Restglied II.141

• Allgemein gilt
  $$f\left(x\right)=T_{n}\left(f,x,x_{0}\right)+R_{n}\left(f,x,x_{0}\right)$$

• Taylorpolynom der Funktion $f$ vom Grad $n$ um den Entwicklungspunkt $x_{0}$.
  $$T_{n}\left(f,x,x_{0}\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}\left(x-x_{0}\right)^{k}\right)$$

• Restglied in Lagrangeform
  $$R_{n}\left(f,x,x_{0}\right)=\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}$$
  mit $\xi\in\left[x_{0},x\right]\cup\left[x,x_{0}\right]$
• Restglied in Integralform
  $$R_{n}\left(f,x,x_{0}\right)=\frac{1}{n!}\int_{x0}^{x}\left(x-t\right)^{n}f^{\left(n+1\right)}\left(t\right)\ dt$$

• wichtige Reihen siehe sub:Besondere-Reihen und sub:wichtige-Reihen-II.154.