Grundbegriffe II.199

Euklidische Norm II.199

Sei $\vec{x}=\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n}$. Dann heißt $\left\Vert \vec{x}\right\Vert =\sqrt{\sum_{j=1}^{\infty}x_{j}^{2}}$ die euklidische Norm von $\vec{x}$.

• in $\mathbb{R}^{2}$ über Pythagoras
• Abstand erfüllt Dreiecksungleichung
• Punkte konstanter Norm ergeben Kugeloberfläche (in $\mathbb{R}^{3}$)
• Auch andere Abstände denkbar: z.B:
  $\left\Vert \vec{x}\right\Vert _{max}:=\max_{j=1,\ldots,n}\left\{ \left\vert x_{j}\right\vert\right\}$
  • auch hier Dreiecksungleichung
  • ergibt die selbe Analysis ( $\left\Vert \vec{x}\right\Vert _{max}\leq\left\Vert \vec{x}\right\Vert \leq\sqrt{n}\left\Vert \vec{x}\right\Vert _{max}$)
• Abstand zweier Punkte über Differenz: $\left\Vert \vec{x}-\vec{y}\right\Vert$

Konvergenz II.202

Eine Folge $\left(\vec{a}_{k}\right)\in\mathbb{R}^{n}$ konvergiert genau dann gegen den Grenzwert $\vec{a}\in\mathbb{R}^{n}$, wenn jede Komponentenfolge $\left(a_{kj}\right)\quad\left(j=1,\ldots,n\right)$ gegen $a_{j}$ konvergiert.

• Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchyfolge ist, d.h. wenn es zu jedem $\epsilon>0$ einen $k_{0}\in\mathbb{N}$ gibt mit $\forall k,l>k_{0}:\left\Vert \vec{a}_{k}-\vec{a}_{l}\right\Vert <\epsilon$

Randpunkt / Häufungspunkt II.200

Ein $\vec{a}\in\mathbb{R}^{n}$ heißt Randpunkt von $M\subseteq\mathbb{R}^{n}$, wenn für jede $\epsilon$-Umgebung $U_{\epsilon}\left(\vec{a}\right):=\left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\vert\left\Vert \vec{x}-\vec{a}\right\Vert <\epsilon\right\}$ sowohl $U_{\epsilon}\left(\vec{a}\right)\cap M\neq\emptyset$ als auch $U_{\epsilon}\left(\vec{a}\right)\cap\left(\mathbb{R}^{n}\backslash M\right)\neq\emptyset$ gilt.

Ein $\vec{a}$ heißt Häufungspunkt von $M$, falls es zu jeder $\epsilon$-Umgebung $U_{\epsilon}\left(\vec{a}\right)$ ein Element $\vec{x}_{\epsilon}\neq\vec{a}$ von $M$ mit $\vec{x}_{\epsilon}\in U_{\epsilon}\left(\vec{a}\right)$ gibt.

Ein $\vec{a}\in M$ heißt innerer Punkt $\Leftrightarrow$ $\vec{a}$ kein Randpunkt von $M$.

• Jede unendliche beschränkte Menge $M\in\mathbb{R}^{n}$besitzt mindestens einen Häufungspunkt (Satz von Bolzano-Weierstraß).

Abgeschlossen / Kompakt

$M$ heißt abgeschlossen, wenn jeder Randpunkt von $M$ zu $M$ gehört.

$M$ heißt kompakt, falls $M$ beschränkt und abgeschlossen ist.