Stetigkeit und Grenzwert II.203

Stetigkeit II.203

Eine Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}$, wobei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$, heißt stetig in $\vec{x}_{0}\in D$, wenn für jede Folge $\left(\vec{x}_{n}\right)$, mit $\vec{x}_{n}\rightarrow\vec{x}_{0}$ gilt: $f\left(\vec{x}_{n}\right)\rightarrow f\left(\vec{x}_{0}\right)$.

Sie heißt gleichmäßig stetig, falls es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $\delta$ gibt, so daß

$$\forall_{D}^{\vec{x},\vec{x}_{0}}:\left\Vert \vec{x}-\vec{x}_{0}\... ...ft\Vert f\left(\vec{x}\right)-f\left(\vec{x}_{0}\right)\right\Vert <\varepsilon$$

Eine Funktion $\vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}^{m}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ heißt stetig in $\vec{x}_{0}\in D$, falls jede Komponente $f_{j}:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(j=1,\ldots,n\right)$ stetig ist. $\vec{f}\left(\vec{x}\right)=\left(\begin{array}{c} f_{1}\left(\vec{x}\right)\\ \vdots\\ f_{1}\left(\vec{x}\right)\end{array}\right)$

• Folgenkriterium aus $\mathbb{R}^{1}$ anwendbar.
• wenn $f$ und $g$ stetig $\rightarrow$folgende Funktionen sind stetig
  • $f+g$
  • $fg$
  • $\frac{f}{g}$ falls $g\left(\vec{x}_{0}\right)\neq0$
  • $g\circ f$ bzw. $f\circ g$ falls Definitions- und Wertebereiche passen
• Sei $\vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ injektiv, in $\vec{x}_{0}\in D$ stetig mit kompakten Definitionsbereich $D$. Dann ist die Umkehrfunktion $\vec{f}^{-1}:\vec{f}\left(D\right)\rightarrow D$ in $\vec{f}\left(\vec{x}_{0}\right)\in\vec{f}\left(D\right)$ stetig.
• $\vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}$ habe kompakten Definitionsbereich $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ und sei stetig $\Rightarrow$
  • $\vec{f}$ gleichmäßig stetig auf $D$
  • $\vec{f}\left(D\right)$ kompakt

Grenzwert II.205

$f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$, hat in $\vec{x}_{0}\in D$ den Grenzwert $g$, falls für jede Folge $\left(\vec{x}_{k}\right)$ mit $\vec{x}_{k}\rightarrow\vec{x}_{0}$ gilt:

$$\lim_{k\rightarrow\infty}f\left(\vec{x}_{k}\right)=g$$

Wir schreiben auch $\lim_{\vec{x}\rightarrow\vec{x}_{0}}f\left(\vec{x}\right)=g$

• wenn der Grenzwert existiert, so ist die Funktion
  $$\tilde{f}\left(\vec{x}\right):=\left\{ \begin{array}{cc} f\left(\... ...vec{x}\in D,\vec{x}\neq\vec{x}_{0}\\ g & \vec{x}=\vec{x}_{0}\end{array}\right.$$
  stetig an $\vec{x}_{0}$.

(relative) Maxi-/Minima II.207

Eine Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ hat in $\vec{x}_{0}\in D$ ein relatives Minimum (Maximum), wenn es eine Umgebung $U_{\varepsilon}\left(\vec{x}_{0}\right)$ gibt, so daß $f\left(\vec{x}\right)\geq f\left(\vec{x}_{0}\right)$ ( $f\left(\vec{x}\right)\leq f\left(\vec{x}_{0}\right)$) für alle $\vec{x}\in U_{\varepsilon}\left(\vec{x}_{0}\right)$.

$\vec{x}_{0}\in D$ heißt absolutes Minimum (Maximum), wenn $f\left(\vec{x}\right)\geq f\left(\vec{x}_{0}\right)$ ( $f\left(\vec{x}\right)\leq f\left(\vec{x}_{0}\right)$) für alle $\vec{x}\in D$.

• Wenn $f$ stetig, und $D$ kompakt $\Rightarrow$ es existiert mindestens ein Maximum und ein Minimum auf $D$ (an den Rändern).