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Stetigkeit und Grenzwert II.203


Stetigkeit II.203

Eine Funktion $ f:D\rightarrow\mathbb{R}$, wobei $ D\subseteq\mathbb{R}^{n}$, heißt stetig in $ \vec{x}_{0}\in D$, wenn für jede Folge $ \left(\vec{x}_{n}\right)$, mit $ \vec{x}_{n}\rightarrow\vec{x}_{0}$ gilt: $ f\left(\vec{x}_{n}\right)\rightarrow f\left(\vec{x}_{0}\right)$.

Sie heißt gleichmäßig stetig, falls es zu jedem $ \varepsilon>0$ ein $ \delta$ gibt, so daß

$\displaystyle \forall_{D}^{\vec{x},\vec{x}_{0}}:\left\Vert \vec{x}-\vec{x}_{0}\...
...ft\Vert f\left(\vec{x}\right)-f\left(\vec{x}_{0}\right)\right\Vert <\varepsilon$

Eine Funktion $ \vec{f}:D\rightarrow\mathbb{R}^{m}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ heißt stetig in $ \vec{x}_{0}\in D$, falls jede Komponente $ f_{j}:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(j=1,\ldots,n\right)$ stetig ist. $ \vec{f}\left(\vec{x}\right)=\left(\begin{array}{c}
f_{1}\left(\vec{x}\right)\\
\vdots\\
f_{1}\left(\vec{x}\right)\end{array}\right)$


Grenzwert II.205

$ f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$, hat in $ \vec{x}_{0}\in D$ den Grenzwert $ g$, falls für jede Folge $ \left(\vec{x}_{k}\right)$ mit $ \vec{x}_{k}\rightarrow\vec{x}_{0}$ gilt:

$\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}f\left(\vec{x}_{k}\right)=g$

Wir schreiben auch $ \lim_{\vec{x}\rightarrow\vec{x}_{0}}f\left(\vec{x}\right)=g$


(relative) Maxi-/Minima II.207

Eine Funktion $ f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ hat in $ \vec{x}_{0}\in D$ ein relatives Minimum (Maximum), wenn es eine Umgebung $ U_{\varepsilon}\left(\vec{x}_{0}\right)$ gibt, so daß $ f\left(\vec{x}\right)\geq f\left(\vec{x}_{0}\right)$ ( $ f\left(\vec{x}\right)\leq f\left(\vec{x}_{0}\right)$) für alle $ \vec{x}\in U_{\varepsilon}\left(\vec{x}_{0}\right)$.

$ \vec{x}_{0}\in D$ heißt absolutes Minimum (Maximum), wenn $ f\left(\vec{x}\right)\geq f\left(\vec{x}_{0}\right)$ ( $ f\left(\vec{x}\right)\leq f\left(\vec{x}_{0}\right)$) für alle $ \vec{x}\in D$.


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Marco Möller 17:42:11 24.10.2005