Partielle Ableitung II.208

Partielle Differenzierbarkeit II.208

Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ eine Funktion und $\vec{x}\in D$. Wenn der Grenzwert

$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(\vec{x}+h\vec{e}_{j}\right)-f\le... ..._{j}}\left(\vec{x}\right)=\frac{\partial f}{\partial x_{j}}\left(\vec{x}\right)$$

für ein $j\in\left\{ 1,\ldots,n\right\}$ existiert, so heißt $f$ in $\vec{x}$ partiell nach $x_{j}$ differenzierbar.

Gradient II.210

$f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ sei in $\vec{x}\in D$ nach allen $x_{j}\ \left(j=1,\ldots,n\right)$ partiell differenzierbar. Dann heißt

$$\mathrm{grad}f\left(\vec{x}_{0}\right):=\nabla f\left(\vec{x}_{0}... ...{x}_{0}\right)\\ \vdots\\ f_{x_{n}}\left(\vec{x}_{0}\right)\end{array}\right)$$

der Gradient von $f$ im Punkt $\vec{x}_{0}$.

• $\nabla$ wird nabla gesprochen (ist kein echter griechischer Buchstabe)
• Der Gradient gibt die Richtung des stärksten Anstiegs von $f$ in $\vec{x}_{0}$ an

Richtungsableitung II.213

Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$, $\vec{x}\in D$, $\vec{e}\in\mathbb{R}^{n}$ Einheitsvektor. Falls

$$\frac{\partial f}{\partial\vec{e}}\left(\vec{x}\right):=\lim_{h\r... ...}+h\vec{e}\right)-f\left(\vec{x}\right)}{h}=\nabla f\left(\vec{x}\right)\vec{e}$$

existiert, heißt $f$ in $\vec{x}$ differenzierbar in Richtung $\vec{e}$ und $\frac{\partial f}{\partial\vec{e}}\left(\vec{x}\right)$ heißt Richtungsableitung von $f$ in Richtung $\vec{e}$.

• Partielle Ableitung $\hat{=}$ Richtungsableitung in Richtung der $j$-ten Koordinate

Partielle Ableitungen höherer Ordnung II.215

Die Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subseteq\mathbb{R}^{n}\right)$ sei nach der Variablen $x_{k}$ partiell differenzierbar. Im Punkt $x_{0}\in D$ existiert die partielle Ableitung der Funktion $f_{x_{k}}:D\rightarrow\mathbb{R}$ nach $x_{j}$. Dann bezeichnet man

$$\frac{\partial f_{x_{k}}}{\partial x_{j}}\left(x_{0}\right)=f_{x_... ...{0}\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{k}}\left(x_{0}\right)$$

als partielle Ableitung zweiter Ordnung der Funktion $f$ nach den Variablen $x_{k}$ und $x_{j}$. Entsprechend werden partielle Ableitungen höherer Ordnung erklärt.

Hessematrix $Q_{A}$ II.238

Die Hessematrix ist wie folgt definiert.

$$H\left(\vec{x}_{0}\right) = \left(f_{x_{j}x_{k}}\left(x\right)\right)_{j,k=1,\ldots,n}$$

$$= \left(\begin{array}{ccc} f_{x_{1}x_{1}}\left(x\right) & \ldots & ... ...}x_{1}}\left(x\right) & \ldots & f_{x_{n}x_{n}}\left(x\right)\end{array}\right)$$

• ist symmetrisch, falls $f\in C^{2}\left(D\right)$ ist

Differenzierbarkeitsklassen II.230

Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}\;\left(D\subset\mathbb{R}^{n}\right)$. Wir schreiben

$$f\in C^{j}\left(D\right)$$

($f$ gehört zu Klasse $C^{j}$) falls sämtliche partiellen Ableitungen bis zur $j$-ten Ordnung existieren und stetig sind.

Satz von Schwarz / Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen II.230

Sei $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ eine Funktion mit $f\in C^{j}\left(D\right).$ Dann gilt: Die mehrfache Ableitung $f_{x_{k_{1}},\ldots,x_{k_{j}}}$ ist von der Reihenfolge der partiellen Ableitungen unabhängig, d.h. für jede Permutation der Indizes ergibt sich das selbe Resultat.

Parameterabhängige Integrale II.216

Sei $f\left(x,t\right)$in $D:=\left[a,b\right]\times\left[\alpha,\beta\right]$ stetige, reellwertige Funktion mit stetiger partieller Ableitung $f_{t}\left(x,t\right)$. Dann ist für beliebige $x_{0}\in\left[a,b\right]$ die Funktion $F\left(y,t\right):=\int_{x_{0}}^{y}f\left(x,t\right)dx$ stetig und besitzt partielle Ableitungen $F_{y}\left(y,t\right)=f\left(y,t\right)$ und $F_{t}=\int_{x_{0}}^{x}f_{t}\left(x,t\right)dt$.

• eine art. Vertauschbarkeit von Grenzwerten