Riemann-Integrale über Intervallen

Zerlegung / Feinheit

Der Grundbereich über dem die Integration stattfinden soll heiße $Q=\left[a_{1},b_{1}\right]\times\ldots\times\left[a_{n},b_{n}\right]$. Dieser hat die Zerlegung $Z_{k}$ der Intervalle $\left[a_{k},b_{k}\right]$, $k=1,\ldots,n$. Die Feinheit der Zerlegung ist gegeben durch $\left\Vert Z\right\Vert =\max_{k=1,\ldots,n}\left\Vert Z_{k}\right\Vert$. Zur Zerlegung $Z$ von $Q$ bezeichnen wir mit $Q_{1},\ldots,Q_{N}$ die Teile von $Q$, also $Q=\cup_{l=1}^{N}Q_{l}$

Definition Integral

Für $f:Q\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, definiere Integral

$$\int_{Q}f\left(\vec{x}\right)\ d\vec{x}:=\lim_{\left\Vert Z\right... ...ghtarrow0}\sum_{l=1}^{N}\left\vert Q_{l}\right\vert f\left(\vec{\xi}_{l}\right)$$

mit $\vec{\xi}_{l}\in Q_{l}$ ( $l=1,\ldots,N$). Wobei $\left\vert Q_{l}\right\vert$= ``Volumen'' von $Q_{l}$ bezeichnet, also bei $Q_{l}=\left[c_{1},d_{1}\right]\times\ldots\times\left[c_{n},d_{n}\right]\Rightarrow\left\vert Q_{l}\right\vert=\prod_{l=1}^{n}\left\vert d_{1}-c_{1}\right\vert$. Falls der Grenzwert existiert, so heißt $f$ Riemann-integrierbar.

Eigenschaften von Integralen

• Linearität
  $\int_{Q}\left(f+g\right)\ d\vec{x}=\int_{Q}f\ d\vec{x}+\int_{Q}g\ d\vec{x}$
  $\int_{Q}c\ f\ d\vec{x}=c\int_{Q}f\ d\vec{x}$
• Additivität
  $\int_{\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]}f\ d\vec{x}=$
  $\int_{\left[a,l\right]\times\left[c,d\right]}f\ d\vec{x}+\int_{\left[l,b\right]\times\left[c,d\right]}f\ d\vec{x}$
• stetige Funktionen sind integrierbar
• wenn $f,g$ integrierbar $\Rightarrow$
  • $\left\vert f\right\vert$ integrierbar
  • $fg$ integrierbar
  • $\frac{f}{g}$ integrierbar (falls $g\neq0$)
  • $\max\left(f,g\right)$ integrierbar
  • $\min\left(f,g\right)$ integrierbar
• Monotonie
  $f\left(\vec{x}\right)\leq g\left(\vec{x}\right)$ auf $Q\Rightarrow$
  $\int_{Q}f\left(\vec{x}\right)\ d\vec{x}\leq\int_{Q}g\left(\vec{x}\right)\ d\vec{x}$
• $\int_{Q}1\ d\vec{x}=\left\vert Q\right\vert$
• Mittelwertsatz
  $f$ integrierbar auf $Q$, $m\leq f\left(\vec{x}\right)\leq M$ auf $Q$
  $\Rightarrow m\left\vert Q\right\vert\leq\int_{Q}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}\leq M\left\vert Q\right\vert$
• Dreiecksungleichung
  $\left\vert\int_{Q}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}\right\vert\leq\int_{Q}\left\ve... ...ight)d\vec{x}\right\vert\leq\left\Vert f\right\Vert _{Q}\left\vert Q\right\vert$
  wobei $\left\Vert f\right\Vert _{Q}:=\sup\left\{ \left\vert f\left(\vec{x}\right)\right\vert\vec{x}\in Q\right\}$