Integrierte Integrale über Intervallen II.263

Satz von Fubini II.263

Sei $f:Q\rightarrow R$, $Q:=\left[a_{1},b_{1}\right]\times\ldots\times\left[a_{n},b_{n}\right]=\times_{k=1}^{n}\left[a_{k},b_{k}\right]$ ein Quader.

Existiert für jedes $x_{k}$

$${\scriptstyle h\left(x_{k}\right):=\int_{I_{k}}f\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)d\left(x_{1},\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n}\right)}$$

wobei

$$I_{k}=\left\{ \left(x_{1},\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n}\right)\vert a_{j}\leq x_{j}\leq b_{j}\right\}$$

dann existiert das Integral

$$\int_{a_{k}}^{b_{k}}h\left(x_{k}\right)dx_{k}$$

und es gilt $\int_{Q}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}=\int_{a_{k}}^{b_{k}}h\left(x_{k}\right)dx_{k}$ bzw. $\int_{Q}f=\int_{a_{k}}^{b_{k}}\left(\int_{I_{k}}f\right)$.

Existiert für jedes $\left(x_{1},\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n}\right)\in I_{k}$ das Integral $g\left(x_{1},\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n}\right)=\int_{a_{k}}^{b_{k}}f\left(\vec{x}\right)$ dann existiert das integrierte Integral

$${\scriptstyle \int_{I_{k}}g\left(x_{1},\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n}\right)d\left(x_{1},\ldots,x_{k-1},x_{k+1},\ldots,x_{n}\right)}$$

und ist gleich $\int_{Q}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}$. Es gilt auch $\int_{Q}f=\int_{I_{k}}\left(\int_{a_{k}}^{b_{k}}f\right)$

• speziell für $n=2$
  $Q=\left[a,b\right]\times\left[c,d\right]$
  Existiert für $x\in\left[a,b\right]$ das Integral $h\left(x\right)=\int_{c}^{d}f\left(x,y\right)dy$ $\Rightarrow$ $\int_{Q}f\left(x,y\right)d\left(x,y\right)=\int_{a}^{b}\left(\int_{c}^{d}f\left(x,y\right)dy\right)dx$
  Existiert für $y\in\left[c,d\right]$ das Integral $h\left(x\right)=\int_{a}^{b}f\left(x,y\right)dx$ $\Rightarrow$ $\int_{Q}f\left(x,y\right)d\left(x,y\right)=\int_{c}^{d}\left(\int_{a}^{b}f\left(x,y\right)dx\right)dy$

Charakteristische Funktion

Sei $A\subseteq\mathbb{R}^{n}$. Mit $\chi_{A}:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ $\chi_{A}\left(\vec{x}\right)=\left\{ \begin{array}{cc} 1 & \vec{x}\in A\\ 0 & \vec{x}\notin A\end{array}\right.$ bezeichnen wir die charakteristische Funktion von $A$.