Riemann Integrale über beschränkte Mengen

Volumen einer Menge II.269

Sei $D\subset\mathbb{R}^{n}$ eine beschränkte Menge. Es existiere $\int_{D}1dx=\int_{D}dx$. Dann heißt $V\left(D\right)=\int_{D}dx$ das Volumen der Menge $D$. In diesem Fall heißt $D$ messbar. Ist $V\left(D\right)=0$, so heißt D eine Nullmenge.

Sei $Q=\times_{j=1}^{n}\left[a_{j},b_{j}\right]$ein Quader, $D\subseteq Q$. Kennt man das $n-1$ dimensionale Volumen $V\left(x_{n}\right)$für jedes $x_{n}$, so gilt $V\left(D\right)=\int_{a_{n}}^{b_{n}}V\left(x_{n}\right)dx_{n}$ (Prinzip von Cavalieri).

Riemannsche Integral

Sei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ beschränkt, $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ Funktion. Sei $Q$ ein Quader mit $D\subseteq Q$. Dann heißt

$$\int_{D}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}=\int_{Q}f\left(\vec{x}\right)\chi_{D}\left(\vec{x}\right)d\vec{x}$$

das Riemannsche Integral von $f$ über $D$.

• Additivität
  $D_{1},D_{2}\subseteq\mathbb{R}^{n}$ mit $D_{1}\cap D_{2}\neq\emptyset$, und $f:D_{1}\cup D_{2}\rightarrow\mathbb{R}$
  $\int_{D_{1}\cup D_{2}}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}=\int_{D_{1}}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}+\int_{D_{2}}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}$

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Sei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ beschränkt, messbar, $f$ integrierbar. Dann gibt es eine Zahl $\eta\in\left[\inf_{\vec{x}\in D}f\left(\vec{x}\right),\sup_{\vec{x}\in D}f\left(\vec{x}\right)\right]$ mit $\int_{D}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}=\eta V\left(D\right)$.

• $V\left(D\right)=0\Rightarrow\int_{D}f\left(\vec{x}\right)d\vec{x}=0$

Zylindermengen II.275

Folgendes sind Zylindermengen.

Sei $D=\left\{ \left(x,y\right)\vert a\leq x\leq b,g_{1}\left(x\right)\leq y\leq g_{2}\left(x\right)\right\}$ dann folgt hieraus $\int_{D}f\left(x,y\right)d\left(x,y\right)=\int_{a}^{b}\left(\int_{g_{1}\left(x\right)}^{g_{2}\left(x\right)}f\left(x,y\right)dy\right)dx$.

Sei ${\scriptstyle D=\left\{ \left(x,y,z\right)\vert a\leq x\leq b,g_{1}\left(x\rig... ...}\left(x\right),h_{1}\left(x,y\right)\leq z\leq h_{2}\left(x,y\right)\right\} }$ dann folgt hieraus $\int_{D}f\left(x,y,z\right)d\left(x,y,z\right)=\int_{a}^{b}\left(\int_{g_{1}\l... ...left(x,y\right)}^{h_{2}\left(x,y\right)}f\left(x,y,z\right)dz\right)dy\right)dx$.

Substitutionsregel II.278

Sei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ beschränkt und messbar. Sei $Q$ ein Quader mit $D\cup\mathrm{Rand}\left(D\right)\subseteq Q$ und $\vec{g}:Q\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ eine stetig differenzierbare Funktion, die auf $D$ umkehrbar ist.

Gilt dann $\det\frac{d\vec{g}}{d\vec{x}}\left(\vec{x}\right)\neq\vec{0}$ für alle $\vec{x}\in D$, so gilt für jedes stetige $f:g\left(D\right)\cup g\left(\mathrm{Rand}\left(D\right)\right)\rightarrow\mathbb{R}$ die Substitutionsregel:

$$\int_{\vec{g}\left(D\right)}f\left(\vec{y}\right)d\vec{y}=\int_{D... ...\left\vert\det\frac{d\vec{g}}{d\vec{x}}\left(\vec{x}\right)\right\vert d\vec{x}$$