Das skalare Produkt I.84

Das skalare Produkt ordnet zwei Vektoren eine reelle Zahl zu.
(geometrisch: Betrag von $\vec{a}$ in Richtung $\vec{b}$)

$$\vec{a}\vec{b}=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}$$

• $\vec{a}\vec{a}=\left\Vert \vec{a}\right\Vert ^{2}$
• $\vec{a}\vec{b}=\vec{b}\vec{a}$
• $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)\vec{c}=\vec{a}\vec{c}+\vec{b}\vec{c}$
• $\left(\lambda\vec{a}\right)\vec{b}=\lambda\vec{a}\vec{b}$
• (umgekehrte-) Dreiecksungleichung
  $\left\vert\left\Vert \vec{a}\right\Vert -\left\Vert \vec{b}\right\Vert \right\... ...b}\right\Vert \leq\left\Vert \vec{a}\right\Vert +\left\Vert \vec{b}\right\Vert$
• Cauchy-Schwarze Ungleichung
  $\left\vert\vec{a}\vec{b}\right\vert\leq\left\Vert \vec{a}\right\Vert \left\Vert \vec{b}\right\Vert$
• $\vec{a}\vec{b}=0\Leftrightarrow\vec{a}\bot\vec{b}$

Eingeschlossener Winkel I.86

Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ schließen den Winkel $\alpha$ ein.

$$\cos\alpha=\cos\left(\alpha\left(\vec{a},\vec{b}\right)\right)=\frac{\vec{a}\vec{b}}{\left\Vert \vec{a}\right\Vert \left\Vert \vec{b}\right\Vert }$$

für $\alpha$ schreibt man auch $\alpha\left(\vec{a},\vec{b}\right)$.

Einheitsvektor / Renormierung I.88

Ein Einheitsvektor ($\vec{e}$) ist ein Vektor mit beliebiger Richtung und der Länge 1. Man erhält ihn durch Renormierung.

$$\vec{e}_{a}=\frac{\vec{a}}{\left\Vert \vec{a}\right\Vert }$$

• Besondere (auf den Koordinatenachsen): $\vec{e}_{x}=(1,0,0)\quad\vec{e}_{y}=(0,1,0)\quad\vec{e}_{z}=(0,0,1)$

Projektion eines Vektors I.89

$\vec{a'}$ ist die Projektion des Vektors $\vec{a}$ in Richtung $\vec{e}$ ( $\left\Vert \vec{e}\right\Vert =1$).

$$\vec{a'}=\left(\vec{a}\vec{e}\right)\vec{e}$$

Richtungskosinus I.90

Die Komponenten eines renormierten Vektors $\vec{e}$ geben den Cosinus der Winkel mit den Einheitsvektoren der Koordinatenachsen an.