Spatprodukt I.95

Das Spatprodukt ordnet drei Vektoren eine reelle Zahl zu. Diese entspricht dem Volumen des von den Vektoren aufgespannten Spats (3-dimensionales Parallelogramm).

$$\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]:=\left(\vec{a}\times\vec{b}\... ...& c_{x}\\ a_{y} & b_{y} & c_{y}\\ a_{z} & b_{z} & c_{z}\end{array}\right\vert$$

• Die Wert entspricht genau dem der Determinante aus den 3 Vektoren.
• Das Spatprodukt ist nur in $\mathbb{V}^{3}$ definiert.

Rechenregeln I.96

• zyklisches Vertauschen
  $\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]=\left[\vec{b},\vec{c},\vec{a}\right]=\left[\vec{c},\vec{a},\vec{b}\right]$
• antizyklisches Vertauschen
  $\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]=-\left[\vec{a},\vec{c},b\right]$
• $\left[\vec{a}+\vec{a'},\vec{b},\vec{c}\right]=\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]+\left[\vec{a'},\vec{b},\vec{c}\right]$
• $\left[\lambda\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]=\lambda\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]$
• $\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]=0\Rightarrow\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ sind linear abhängig
• Entwicklungssatz
  $\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)=\left(\vec{a}\vec{c}\right)\vec{b}-\left(\vec{a}\vec{b}\right)\vec{c}$
• Lagrande-Identität
  $\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\left(\vec{c}\times\vec{d}\right)=\left(\vec{... ...ht)\left(\vec{b}\vec{d}\right)-\left(\vec{a}\vec{d}\right)\left(\vec{b}c\right)$