Gerade und Ebene im Raum I.99

Geradengleichung I.99

• Punkt-Richtungsform
  $g:\vec{r}=\vec{r}_{0}+\lambda\vec{a}$
  • Ortsvektor $\vec{r}_{0}=\vec{OP_{o}}$
  • Richtungsvektor $\vec{a}$
• Zwei-Punkte-Form
  $g:\vec{r}=\vec{r}_{0}+\lambda\vec{a}$
  • Ortsvektor $\vec{r}_{0}=\vec{OP_{o}}$
  • Richtungsvektor $\vec{a}=\vec{P_{0}P_{1}}$
• Parameterfreie Darstellung
  $\vec{a}\times\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right)=\vec{0}$

Ebenengleichung I.107

• Parameterdarstellung von $E:$
  $E:\vec{r}=\vec{r}_{0}+s\vec{a}+t\vec{b}$
  • Ortsvektor $\vec{r}_{0}$
  • Richtungsvektoren $\vec{a},\vec{b}$ (müssen linear unabhängig sein!!)
  • Normalenvektor $\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}$
  • Aus parameterfreier Darstellung per Festlegung von z.B. $y,z$ als Parameter $s,t$
    $\vec{r}=\left(\frac{D}{A},0,0\right)+s\left(-\frac{B}{A},1,0\right)+t\left(-\frac{C}{A},0,1\right)$
• Drei-Punkte-Form
  $E:\vec{r}=\vec{r}_{0}+s\vec{a}+t\vec{b}$
  • Ortsvektor $\vec{r}_{0}=\vec{OP_{o}}$
  • Richtungsvektoren
    $\vec{a}=\vec{P_{0}P_{1}}\quad\vec{b}=\vec{P_{0}P_{2}}$
• Als Skalarprodukt
  $\vec{n}\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right)=0$
• Als Spatprodukt
  $\left[\vec{r}-\vec{r}_{0},\vec{a},\vec{b}\right]=0$
• Parameterfreie Darstellung
  $E:Ax+By+Cz=D$
  $E:\vec{n}\vec{r}=D$
  • Punkt auf der Ebene $\vec{r}=\left(x,y,z\right)$
  • $A,B,C,D$ Konstanten
  • Normalenvektor $\vec{n}=\left(A,B,C\right)$
  • Aus Parameterdarstellung:
    • per Elimination der Parameter
    • aus der Determinante des Spatprodukts ( $\det\left[\left(x,y,z\right)-\vec{r}_{0},\vec{a},\vec{b}\right]=0$)
    • $\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\left(\vec{r}-\vec{r}_{0}\right)=0$
• Hessesche Normalform der Ebenengleichung I.114
  $E:\vec{e}_{n}\vec{r}-\vec{e}_{n}\vec{r}_{0}=0$ (folgt aus $E:\vec{n}\vec{r}=\vec{n}\vec{r}_{0}=D$)
  • Erhält man durch Renormierung $\vec{e}_{n}=\frac{\vec{n}}{\left\Vert \vec{n}\right\Vert }$

Lage von Geraden im Raum I.99

$g_{1}:\vec{r}=\vec{r}_{1}+t\vec{a}_{1}\quad g_{2}:\vec{r}=\vec{r}_{2}+t\vec{a}_{2}$

1. $g_{1},g_{2}$ parallel zueinander
   • $\vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}=0$
   • Sonderfall $g_{1}=g_{2}$ wenn zusätzlich $\vec{r}_{2}=\vec{r}_{1}+t\vec{a}_{1}$
2. $g_{1},g_{2}$ schneiden sich in genau einem Punkt
   • $g_{1}=g_{2}\Rightarrow$ Schnittpunkt
   • $\vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}\neq0$
3. $g_{1},g_{2}$ windschief zueinander (weder parallel noch Schnittpunkt)
   • $g_{1}=g_{2}\Rightarrow$nicht lösbar
   • $\vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}\neq0$
   • z.B. $\vec{e}_{x},\vec{e}_{y},\vec{e}_{z}$

Abstand Gerade Punkt I.105

Gerade: $\vec{r}=\vec{r}_{0}+t\vec{a}$, Punkt: $\vec{r}_{1}$, Abstand $d$

$$d=\frac{\left\Vert \vec{a}\times\left(\vec{r}_{1}-\vec{r}_{0}\right)\right\Vert }{\left\Vert \vec{a}\right\Vert }$$

Abstand zweier windschiefer Geraden I.106

$g_{1}:\vec{r}=\vec{r}_{1}+t\vec{a}_{1}\quad g_{2}:\vec{r}=\vec{r}_{2}+t\vec{a}_{2}$

$$d=\frac{\left\vert\left[\vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right]\right\vert}{\left\Vert \vec{a}_{1}\times\vec{a}_{2}\right\Vert }$$

Normalenvektor I.108

Jeder auf der Ebene $E:\vec{r}=\vec{r}_{0}+s\vec{a}+t\vec{b}$ senkrecht stehende Vektor $\vec{n}$ wird als Normalenvektor der Ebene $E$ bezeichnet.

$$\vec{n}=\lambda\left(\vec{a}\times\vec{b}\right),\quad\lambda\neq0$$

Lage zweier Ebenen im Raum I.111

$E_{1}:\vec{r}=\vec{r}_{1}+s\vec{a}_{1}+t\vec{b}_{1}\quad E_{2}:\vec{r}=\vec{r}_{2}+s\vec{a}_{2}+t\vec{b}_{2}$

1. $E_{1}=E_{2}$ (sind gleich)
   • $\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=\vec{0}\quad\left[\vec{a}_{1},\vec{b}_{1},\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right]=0$
2. $E_{1},E_{2}$ sind parallel aber nicht gleich
   • $\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}=\vec{0}\quad\left[\vec{a}_{1},\vec{b}_{1},\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right]\neq0$
3. $E_{1},E_{2}$ schneiden sich in einer Geraden
   • $\vec{n}_{1}\times\vec{n}_{2}\neq\vec{0}=$ Richtungsvektor der Schnittgeraden
   • Ortsvektor der Schnittgeraden ist ein beliebiger Punkt der auf $E_{1}$ und $E_{2}$ liegt.

Schnittpunkt Gerade Ebene I.110

Der Schnittpunkt der Ebene $E:\vec{n}\cdot\vec{r}=D$ und der Gerade $g:\vec{r}=\vec{r}_{0}+t\vec{a}$ hat den Ortsvektor

$$\vec{r}_{Q}=\vec{r}_{0}+\frac{D-\vec{n}\vec{r}_{0}}{\vec{n}\vec{a}}\vec{a}$$

Lot auf Ebene I.111

Die Lotgerade auf der Ebene $E:\vec{n}\cdot\vec{r}=D$ durch den Punkt $P_{0}$ mit dem Ortsvektor $\vec{r}_{0}$ besitzt folgende Gestalt

$$l:\vec{r}=\vec{r}_{0}+t\vec{n}$$

Der Ortsvektor des Fußpunktes (Durchstoßpunkt mit der Ebene) ergibt sich dann so

$$\vec{r}_{Q}=\vec{r}_{0}+\frac{D-\vec{n}\vec{r}_{0}}{\vec{n}\vec{n}}\vec{n}$$

Abstand Nullpunkt-Ebende I.113

Der Abstand einer Ebene $E:\vec{n}\cdot\vec{r}=D$ vom Ursprung $d=\left\vert\vec{e}_{n}\vec{r}_{0}\right\vert$

Abstand Punkt-Ebene I.114

Der Abstand einer Ebene $E:\vec{n}\cdot\vec{r}=D$ vom Punkt $\vec{r}_{1}$ $d=\left\vert\vec{e}_{n}\vec{r}_{1}-\vec{e}_{n}\vec{r}_{0}\right\vert$