Koordinaten I.171

Definition I.171

Ein Vektor $\vec{a}$ lässt sich mit Hilfe der Koordinaten $\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}$ bezüglich der Basis $\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}$ wie folgt (eindeutig) darstellen.

$$\vec{a}=\sum_{k=1}^{n}\alpha_{k}\vec{b}_{k}$$

• Bezüglich der Kanonischen Basis sind die Koordinaten genau die Komponenten des Vektors $\vec{a}$
• Der Vektor der Koordinaten heißt Koordinatenvektor $\vec{\alpha}$
• Die Rechenregeln für Summe von zwei Koordinatenvektoren der gleichen Basis und die Regeln der Multiplikation mit einem Skalar sind identisch mit den Regeln für Vektoren.
• $\vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{m}$ linear unabhängig $\Leftrightarrow\vec{\alpha}_{1},\ldots,\vec{\alpha}_{m}$ linear unabhängig

Basiswechsel I.174

Seien $\vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}$ und $\vec{\tilde{b}}_{1},\ldots,\vec{\tilde{b}}_{n}$ zwei Basen des n-dimensionalen Vektorraumes $\mathbb{V}$. Die Basisvektoren haben nun sollen folgende Beziehungen untereinander besitzen

$$\vec{\tilde{b}}_{j}=\sum_{k=1}^{n}\tilde{\beta}_{k,j}\vec{b}_{k},\quad j=1,\ldots,n$$

$$\vec{b}_{j}=\sum_{k=1}^{n}\beta_{k,j}\vec{\tilde{b}}_{k},\quad j=1,\ldots,n$$

Die Koordinatenvektoren $\vec{\beta}_{1},\ldots,\vec{\beta}_{n}$ und $\vec{\tilde{\beta}}_{1},\ldots,\vec{\beta}_{n}$ sind linear unabhängig.

Einen Vektor $\vec{a}$ kann man nun in beiden Basissystemen ausdrücken

$$\vec{a}=\sum_{j=1}^{n}\tilde{\alpha}_{j}\vec{\tilde{b}}_{j}=\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\vec{b}_{j}$$

Zwischen den Koordinatenvektoren $\vec{\tilde{\alpha}}$ und $\vec{\alpha}$ in den jeweiligen Basissystemen besteht der Zusammenhang:

$$\tilde{\alpha}_{k}=\sum_{j=1}^{n}\beta_{k,j}\alpha_{j}$$

$$\alpha_{k}=\sum_{j=1}^{n}\tilde{\beta}_{k,j}\tilde{\alpha}_{j}$$

• Für weiteres siehe sub:BasiswechselMatix

Kronecker-Symbol I.176

Das Kronecker-Symbol ist wie folgt definiert

$$\delta_{jk}=\left\{ \begin{array}{cc} 1, & \textrm{falls}\ j=k\\ 0, & \textrm{falls}\ j\neq k\end{array}\right.$$