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Lineare Abbildungen I.183

$ \mathbb{V}$(Quellraum) und $ \mathbb{W}$(Zielraum) seien Vektorräume über demselben skalaren Körper $ \mathbb{K}$. Die Abbildung $ f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$ heißt linear, wenn für alle $ \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{V}$ und $ \lambda\in\mathbb{K}$ gilt:

Additivität
$ f\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=f\left(\vec{a}\right)+f\left(\vec{b}\right)$
Homogenität
$ f\left(\lambda\vec{a}\right)=\lambda f\left(\vec{a}\right)$
Eine Lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen wird auch als Homomorphismus bezeichnet.


Bild und Kern I.184

Sei $ f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$ lineare Abbildung.

Bild
Bild $ \left(f\right):=\left\{ f\left(\vec{a}\right)\vert\vec{a}\in\mathbb{V}\right\} \subseteq\mathbb{W}$
Kern
Kern $ \left(f\right):=\left\{ \vec{a}\in\mathbb{V}\vert f\left(\vec{a}\right)=\vec{0}\right\} \subseteq\mathbb{V}$


Injektiv / Surjektiv I.184

Eine Abbildung $ f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$ heißt injektiv, falls

$\displaystyle f\left(\vec{a}\right)=f\left(\vec{b}\right)\Rightarrow\vec{a}=\vec{b}$

Bei linearen $ f$ gilt weiter:

Lineare Abbildung durch Bilder der Basis I.184

Um eine lineare Abbildung $ f$ festzulegen genügt es die Bilder $ \left\{ \vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}\right\} $ der Basis $ \left\{ \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\} $ zu kennen, für $ \vec{b}_{k}=f\left(\vec{a}_{k}\right)\ 1\leq k\leq n$.

Sei $ \vec{a}\in\mathbb{V}$ und $ \vec{a}=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\vec{a}_{k}$ für geeignete $ \lambda_{k}\in\mathbb{K}$ gilt

$\displaystyle f\left(\vec{a}\right)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\vec{b}_{k}$


Koordinatenschreibweise linearer Abbildungen I.188

Seien $ \alpha_{k}$ $ \left(1\leq k\leq n\right)$ die Koordinaten von $ \vec{a}$ bezüglich der Basis $ \left\{ \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\} $ von $ \mathbb{V}$. Außerdem beschreibt $ \beta_{kj}$ die Umrechnungskoordinaten von $ \mathbb{V}$ nach $ \mathbb{W}$ $ f\left(\vec{a}_{j}\right)=\sum_{k=1}^{m}\beta_{kj}\vec{b}_{k}$ ( $ \left\{ \vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{m}\right\} $ ist Basis von $ \mathbb{W}$). Dann gilt:

$\displaystyle f\left(\vec{a}\right)=\left(\begin{array}{c}
\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\beta_{1j}\\
\vdots\\
\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\beta_{mj}\end{array}\right)$


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Marco Möller 17:42:11 24.10.2005