Lineare Abbildungen I.183

$\mathbb{V}$(Quellraum) und $\mathbb{W}$(Zielraum) seien Vektorräume über demselben skalaren Körper $\mathbb{K}$. Die Abbildung $f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$ heißt linear, wenn für alle $\vec{a},\vec{b}\in\mathbb{V}$ und $\lambda\in\mathbb{K}$ gilt:

Additivität

$f\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=f\left(\vec{a}\right)+f\left(\vec{b}\right)$

Homogenität

$f\left(\lambda\vec{a}\right)=\lambda f\left(\vec{a}\right)$

Eine Lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen wird auch als Homomorphismus bezeichnet.

• $f\left(\lambda\vec{a}+\mu\vec{b}\right)=\lambda f\left(\vec{a}\right)+\mu f\left(\vec{b}\right)$
• $f\left(\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\vec{a}_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}f\left(\vec{a}_{k}\right)$
• integrieren und differenzieren von Polynomen sind lineare Abbildungen

Bild und Kern I.184

Sei $f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$ lineare Abbildung.

Bild

Bild $\left(f\right):=\left\{ f\left(\vec{a}\right)\vert\vec{a}\in\mathbb{V}\right\} \subseteq\mathbb{W}$

Kern

Kern $\left(f\right):=\left\{ \vec{a}\in\mathbb{V}\vert f\left(\vec{a}\right)=\vec{0}\right\} \subseteq\mathbb{V}$

• Bild $\left(f\right)$ ist Untervektorraum von $\mathbb{W}$
• Kern $\left(f\right)$ ist Untervektorraum von $\mathbb{V}$
• $\dim\left(\mathbb{V}\right)-\dim\left(\textrm{Bild}\left(f\right)\right)=\dim\left(\textrm{Kern}\left(f\right)\right)$
• $\textrm{Rang}\left(M\left(f\right)\right)=\dim\left(\textrm{Bild}\left(f\right)\right)$

Injektiv / Surjektiv I.184

Eine Abbildung $f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{W}$ heißt injektiv, falls

$$f\left(\vec{a}\right)=f\left(\vec{b}\right)\Rightarrow\vec{a}=\vec{b}$$

Bei linearen $f$ gilt weiter:

• $f$ ist injektiv $\Leftrightarrow$ Kern $\left(f\right)=\left\{ \vec{0}\right\}$
• $f$ ist surjektiv $\Leftrightarrow$ $\dim\left(\textrm{Bild}\left(f\right)\right)=\dim\left(\mathbb{W}\right)$

Lineare Abbildung durch Bilder der Basis I.184

Um eine lineare Abbildung $f$ festzulegen genügt es die Bilder $\left\{ \vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{n}\right\}$ der Basis $\left\{ \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\}$ zu kennen, für $\vec{b}_{k}=f\left(\vec{a}_{k}\right)\ 1\leq k\leq n$.

Sei $\vec{a}\in\mathbb{V}$ und $\vec{a}=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\vec{a}_{k}$ für geeignete $\lambda_{k}\in\mathbb{K}$ gilt

$$f\left(\vec{a}\right)=\sum_{k=1}^{n}\lambda_{k}\vec{b}_{k}$$

Koordinatenschreibweise linearer Abbildungen I.188

Seien $\alpha_{k}$ $\left(1\leq k\leq n\right)$ die Koordinaten von $\vec{a}$ bezüglich der Basis $\left\{ \vec{a}_{1},\ldots,\vec{a}_{n}\right\}$ von $\mathbb{V}$. Außerdem beschreibt $\beta_{kj}$ die Umrechnungskoordinaten von $\mathbb{V}$ nach $\mathbb{W}$ $f\left(\vec{a}_{j}\right)=\sum_{k=1}^{m}\beta_{kj}\vec{b}_{k}$ ( $\left\{ \vec{b}_{1},\ldots,\vec{b}_{m}\right\}$ ist Basis von $\mathbb{W}$). Dann gilt:

$$f\left(\vec{a}\right)=\left(\begin{array}{c} \sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\beta_{1j}\\ \vdots\\ \sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}\beta_{mj}\end{array}\right)$$