Rechenoperationen mit Matrizen I.190

Addition I.195

Die Addition erfolgt Elementenweise
(mit $j=1,\ldots,m\quad k=1,\ldots,n$):

$$\left(a_{jk}\right)+\left(b_{jk}\right)=\left(a_{jk}+b_{jk}\right)$$

Skalarmultiplikation I.195

Jedes Element wird einzeln Multipliziert
(mit $j=1,\ldots,m\quad k=1,\ldots,n$):

$$\lambda\left(a_{jk}\right)=\left(\lambda a_{jk}\right)$$

Kanonische Basis

Die Kanonische Basis zu einem Vektorraum aller $m\times n$-Matrizen besteht aus allen (verschiedenen) $m\times n$-Matrizen die jeweils nur eine $1$ und sonst nur 0-en enthalten. Es gibt $m\cdot n$ solcher Basen.

Transponierte Matrix I.192

Die $m\times n$-Matrix $A$ ist wie folgt definiert

$$A=\left(a_{jk}\right)_{{{j=1,\ldots,m\atop k=1,\ldots,n}}}$$

dann heißt die $n\times m$-Matrix

$$A^{T}=\left(a_{kj}\right)_{{{j=1,\ldots,m\atop k=1,\ldots,n}}}$$

die zu $A$ transponierte Matrix.

• Transponieren vertauscht die Elemente bezüglich der Hauptdiagonalen (von Links oben, nach Rechts unten)
• $\left(A^{T}\right)^{T}=A$
• Transponieren ist eine lineare Abbildung, es gilt die

  Additivität

  $\left(A+B\right)^{T}=A^{T}+B^{T}$

  Homogenität

  $\left(\lambda A\right)^{T}=\lambda A^{T}$

• $\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1}$

(Anti-) Symmetrische Matrix

Alle (Anti-)Symmetrische Matrizen sind quadratische Matrizen. Das bedeutet, das sie die gleiche Anzahl an Spalten und Zeilen haben ($n\times n$-Matrix).

symmetrische Matrix

$A^{T}=A$

• Lässt sich auf der Hauptdiagonalen spiegeln, ohne das sie sich ändert

antisymmetrische Matrix

$A^{T}=-A$

• Hat auf der Hauptdiagonalen nur 0en.
• Ist auf der Hauptdiagonalen mit vertauschten Vorzeichen gespiegelt.

symmetrischer Teil

$A_{s}=\frac{1}{2}\left(A+A^{T}\right)$

antisymmetrischer Teil

$A_{as}=\frac{1}{2}\left(A-A^{T}\right)$

• $A=A_{s}+A_{as}$

Matrixprodukt I.197

Sei $A=\left(a_{jk}\right)_{{{j=1,\ldots,m\atop k=1,\ldots,n}}}$ eine $m\times n$-Matrix und $B=\left(b_{kl}\right)_{{{k=1,\ldots,n\atop l=1,\ldots,p}}}$ eine $n\times p$-Matrix. Die $m\times p$-Matrix

$$A\ B = \left(\sum_{k=1}^{n}a_{jk}b_{kl}\right)_{{{j=1\ldots m\atop l=1\ldots p}}}$$

$$= \left(\left(\begin{array}{c} a_{j1}\\ \vdots\\ a_{jn}\end{array... ...\ \vdots\\ b_{ml}\end{array}\right)\right)_{{{j=1\ldots m\atop l=1\ldots p}}}$$

heißt Produktmatrix (Produkt aus $A$ und $B$).

• An Position $\left(j,l\right)$ steht das Skalarprodukt des $j$-ten Zeilenvektors (der linken Matrix), mit dem $l$-ten Spaltenvektor (der 2ten Matrix)
• Skalarprodukt von 2 Vektoren ist Sonderfall des Matrixproduktes
• Produkt entspricht der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen
• Nur Definiert, wenn Spaltenanzahl der 1. Matrix = Zeilenanzahl der 2. Matrix

$A,B,C$ seien Matrizen, so dass die folgenden Produkte definiert sind

• Assoziativgesetz
  $\left(AB\right)C=A\left(BC\right)$
• Distributivgesetz
  $A\left(B+C\right)=AB+AC$
  $\left(A+B\right)C=AC+BC$
• $\left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}$
• im allgemeinen:
  $AB\neq BA$
• $AE=A$ (mit $E$ = Einheitsmatrix)
• nilpotent heißt eine Matrix, wenn
  $A^{2}=\left(0\right)$= Nullmatrix
• Die Menge aller $n\times n$-Matrizen mit den Rechengesetzen zusammen bildet einen Ring. Keinen Körper, da das inverse Element der Muliplikation im allgemeinen nicht Existiert.

Nullmatrix

Eine Matrix die ausschließlich mit Nullen aufgefüllt ist, nennt sich Nullmatrix, und hat den Rang 0.

Einheitsmatrix I.200

Eine $n\times n$-Matrix die $1$en auf der Hauptdiagonale, und sonst nur Nullen hat, heißt Einheitsmatix. Sie ist das neutrales Element der Multiplikation.

$$E=\left(\delta_{ik}\right)_{{{i=1,\ldots,n\atop k=1,\ldots,n}}}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & \ddots & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$