%% LyX 1.3 created this file. 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Die folgende Formelsammlung steht zum kostenlosen Download zur Verfügung. Das Urheberrecht und sonstige Rechte an dem Text verbleiben beim Verfasser, der keine Gewähr für die Richtigkeit und Vollständigkeit der Inhalte übernehmen kann. \tableofcontents{} \section{Einheiten und Vorsatzzeichen} \subsection{Einheiten\index{Einheiten}} Alle Einheiten lassen sich auf die 7 SI-Basiseinheiten\index{Si-Basiseinheiten}\index{Basiseinheiten}\index{Einheiten!SI-B.} (System International) zurückführen. Dies sind Länge~(m), Masse~(kg), Zeit~(s), Stromstärke~(A), Temperatur~(K), Stoffmenge~(Mol) und die Lichtstärke~(cd). Eine ausführliche Auflistung finden sie in Tabelle \vref{cap:Einheiten}. % \begin{table}[H] \caption{\label{cap:Einheiten}Einheiten} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Größe\index{Grössen}& Formel-Buchstabe& Einheit& Einheit-Name\tabularnewline \hline \hline Länge& l& m& Meter\tabularnewline \hline Masse& m& kg& KiloGramm\tabularnewline \hline Zeit& t& s& Sekunde\tabularnewline \hline Stromstärke& I, i(t)& A& Ampere\tabularnewline \hline Temperatur& T, $\vartheta$& °C& Grad-Celsius\tabularnewline & & K& Grad-Kelvin\tabularnewline \hline Stoffmenge& m& Mol& mol\tabularnewline \hline Lichtstärke& & cd& Candela\tabularnewline \hline \hline el. Ladung& Q& $C=As$& Coulomb\tabularnewline \hline el. Spannung& U, u(i)& $V=\frac{J}{C}=\frac{m^{2}kg}{s^{3}A}$& Volt\tabularnewline \hline el. Widerstand& R& $\Omega=\frac{1}{S}=\frac{V}{A}=\frac{m^{2}kg}{s^{3}A^{2}}$& Ohm\tabularnewline \hline el. Leitwert& G& $S=\frac{1}{\Omega}=\frac{A}{V}=\frac{s^{3}A^{2}}{m^{2}kg}$& Siemens\tabularnewline \hline mag. Fluß& $\phi$& $W_{b}=Vs=\frac{m^{2}kg}{s^{2}A}$& Weber\tabularnewline \hline mag. Flußdichte& B& $T=\frac{Vs}{m^{2}}=\frac{kg}{s^{2}A}$& Tesler\tabularnewline \hline mag. Feldstärke& H& $\frac{A}{m}$& \tabularnewline \hline Induktivität& L& $H=\frac{Vs}{A}=\frac{m^{2}kg}{s^{2}A}$& Henry\tabularnewline \hline Leistung& P& $W=VA=\frac{m^{2}kg}{s^{3}}$& Watt\tabularnewline \hline Energie& W& $J=Ws=Nm=\frac{m^{2}kg}{s^{2}}$& Joule\tabularnewline \hline el. Kapazität& C& $F=\frac{C}{V}=\frac{As}{V}=\frac{A^{2}s^{4}}{m^{2}kg}$& Farrad\tabularnewline \hline Geschwindigkeit& v& $\frac{m}{s}$& \tabularnewline \hline Beschleunigung& a& $\frac{m}{s^{2}}$& \tabularnewline \hline Kraft& F& $N=\frac{mkg}{s^{2}}$& Newton\tabularnewline \hline \end{tabular} \end{table} \subsection{Vorsatzzeichen\index{Vorsatzzeichen}} Siehe Tabelle \vref{cap:Forsatzzeichen-und-Abk=FCrzungen}. % \begin{table}[h] \caption{\label{cap:Forsatzzeichen-und-Abk=FCrzungen}Vorsatzzeichen und Abkürzungen\index{Abkürzungen}} \begin{tabular}{|c|c|c||c|c|c|} \hline da& Deka& $10^{1}$& d& Dezi& $10^{-1}$\tabularnewline \hline h& Hekto& $10^{2}$& c& Zenti& $10^{-2}$\tabularnewline \hline k& Kilo& $10^{3}$& m& Milli& $10^{-3}$\tabularnewline \hline M& Mega& $10^{6}$& $\mu$& Mikro& $10^{-6}$\tabularnewline \hline G& Giga& $10^{9}$& n& Nano& $10^{-9}$\tabularnewline \hline T& Tera& $10^{12}$& p& Piko& $10^{-12}$\tabularnewline \hline P& Peta& $10^{15}$& f& Femto& $10^{-15}$\tabularnewline \hline E& Exa& $10^{18}$& a& Atto& $10^{-18}$\tabularnewline \hline Z& Zetta& $10^{21}$& z& Zepto& $10^{-21}$\tabularnewline \hline Y& Yotta& $10^{24}$& y& Yocto& $10^{-24}$\tabularnewline \hline \end{tabular} \end{table} \section{Atomare\index{Atom} Eigenschaften} \begin{description} \item [\label{atomareMasse}Atomare~Masse\index{Atom!Masse}]$m_{A}=A\cdot u=(N+Z)\cdot u$ \begin{itemize} \item $A=$ Atomare Massenzahl \item $N=$ Neutronen Zahl \item $Z=$ Protonen Zahl \item $u=1,6735\cdot10^{-27}kg$ \end{itemize} \item [Elektronen~Masse\index{Elektron}]$m_{e}=9,109\cdot10^{-31}kg\approx\frac{1}{2000}u$ \item [\label{elementarLadung}elektrische~Elementarladung]$e=1,6022\cdot10^{-19}As$\index{Ladung!Elementar}\index{Elementarladung} \item [Elektronen~Volt]$1eV=1,6022\cdot10^{-19}J$ \begin{itemize} \item atomare Energieeinheit \item Energie die ein Elektron bei der Beschleunigung um $1V$ aufnimmt. \end{itemize} \end{description} \section{Eindimensionale Bewegung\index{Bewegung}} \subsection{Weg und Geschwindigkeit} \begin{description} \item [Weg\index{Weg}]$s(t)=\frac{1}{2}at^{2}+v_{0}t+s_{0}$ \item [Geschwindigkeit\index{Geschwindigkeit}]$v(t)=\frac{ds}{dt}=\dot{s}=at+v_{0}$ \item [Beschleunigung\index{Beschleunigung}]$a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{ds}{dt}\right)=\frac{d^{2}s}{dt^{2}}=\dot{v}=\ddot{s}=a$ \end{description} \subsection{Kraft\index{Kraft} und Beschleunigung} \begin{description} \item [Kräftegleichgewicht\index{Kraft!Gleichgewicht}]$\sum\vec{F}=0$ \begin{itemize} \item bei einer nicht beschleunigten Masse (v = konstant) \end{itemize} \item [Kraft]$F=m\cdot a(t)=\frac{d\vec{p}}{dt}$ \begin{itemize} \item $\vec{p}=m\vec{v}$ Puls \end{itemize} \item [Gewichtskraft]$F_{g}=-g\cdot m$ \begin{itemize} \item $g=9,8066\frac{m}{s^{2}}$ Erdbeschleunigung \end{itemize} \end{description} \subsection{Harmonische Schwingungen\index{Schwingungen}\index{Harmonische Schwingungen}\index{Schwingungen!Harmonische}} \begin{description} \item [Federkraft\index{Feder!Federkraft}\index{Feder}]$F=-Dy$ \begin{itemize} \item $y$ Auslenkung aus Ruhelage \item $D=m\omega^{2}$ Federkonstante\index{Feder!Federkonstante}; $\left[D\right]=\frac{N}{m}=\frac{kg}{s^{2}}$ \end{itemize} \item [Auslenkung]$y(t)=y_{0}\,\cos\left(\omega\left(t-\varphi\right)\right)$ \begin{itemize} \item $y_{0}$ Amplitude\index{Amplitude} (Maximale Auslenkung aus Ruhelage) \item $T$ Schwingungsdauer\index{Schwingungsdauer} (Periodendauer); $\left[T\right]=s$ \item $f=\frac{1}{T}$ Frequenz (Anzahl Schwingungen pro Sekunde; $\left[f\right]=\frac{1}{s}=Hz$ \item $\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{D}{m}}$ Kreisfrequenz; $\left[\omega\right]=\frac{1}{s}$ \item $\varphi$ Phasenlage im Bogenmaß \end{itemize} \item [Geschwindigkeit]$v(t)=\dot{y}(t)=-y_{0}\,\omega\,\sin\left(\omega\left(t-\varphi\right)\right)$ \item [Beschleunigung]$a(t)$= $\dot{v}(t)=\ddot{y}(t)=-y_{0}\,\omega^{2}\,\cos\left(\omega\left(t-\varphi\right)\right)$ \begin{itemize} \item $F=-Dy=m\ddot{y}\:\Rightarrow\: D=m\omega^{2}$ \end{itemize} \end{description} \subsection{Vektorielle Bewegung\index{Bewegung!Vektorielle}} \begin{description} \item [Bewegungsgleichung]\[ \vec{a}(t)=\dot{\vec{v}}(t)=\ddot{\vec{x}}(t)=\left(\begin{array}{c} a_{x}(t)\\ a_{y}(t)\\ a_{z}(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \dot{v}_{x}(t)\\ \dot{v}_{y}(t)\\ \dot{v}_{z}(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \ddot{s}_{x}(t)\\ \ddot{s}_{y}(t)\\ \ddot{s}_{z}(t)\end{array}\right)\] \begin{itemize} \item $\vec{x}$ Ortsvektor, $\vec{v}$ Geschwindigkeitsvektor, $\vec{a}$ Beschleunigungsvektor \item Alle Bewegungsgleichungen gelten auch vektoriell \item Bahnkurve ohne Parameter $t$ durch Eliminierung von $t$ \end{itemize} \item [Kreisbewegung\index{Kreisbewegung}]~ \begin{description} \item [Ortsvektor]$\vec{x}=\left(\begin{array}{c} x(t)\\ y(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} r\sin\alpha\\ r\cos\alpha\end{array}\right)$ \item [Geschwindigkeit]$\vec{v}=\omega\left(\begin{array}{c} -y(t)\\ x(t)\end{array}\right)=\omega\left(\begin{array}{c} -r\cos\alpha\\ r\sin\alpha\end{array}\right)$ \begin{itemize} \item Richtung ist Tangente am Kreis \end{itemize} \item [Beschleunigung]$\vec{a}=-\omega^{2}\left(\begin{array}{c} x(t)\\ y(t)\end{array}\right)=-\omega^{2}\vec{x}$ \begin{itemize} \item $\vec{a}\times\vec{s}=0$ Beschleunigung auf Mittelpunkt gerichtet, bzw. antiparallel zum Ortsvektor \item $\vec{a}\perp\vec{v}=0$ Beschleunigung ist senkrecht zur Geschwindigkeit \end{itemize} \end{description} \end{description} \subsection{Bahnkurven\index{Bahnkurve}\index{Bahn}} \begin{description} \item [Bahnkurve]$y=f(x)$ \begin{itemize} \item Erhält man aus vektorieller Form durch Elimination von $t$ \end{itemize} \item [Kreisbahn\index{Kreisbahn}\index{Bahn!Kreis}]$x^{2}+y^{2}=r$ \begin{itemize} \item $r$ Radius des Kreises \end{itemize} \item [Elipsenbahn\index{Bahn!Ellipsen}\index{Elipsenbahn}]$\left(\frac{x}{a}\right)^{2}+\left(\frac{y}{b}\right)^{2}=1$ \begin{itemize} \item $a$ x-Achsendurchstoßpunkt (Halbachse der Ellipse) \item $b$ y-Achsendurchstoßpunkt (Halbachse der Ellipse) \item $a,b$ minimaler, und maximaler Radius \item $a=b=r$ Sonderfall Kreis \end{itemize} \item [Phasenelipse\index{Phasenelipse}\index{Ellipse!Phasen}]$x=a\cos\left(\omega t\right)\quad y=a\cos\left(\omega t-\phi\right)$ \begin{itemize} \item $\phi=0$ Diagonale $\left(-,-\right)\leftrightarrow(+,+)$ \item $0<\phi<\frac{\pi}{2}$ Ellipse ähnlich Diagonale $\left(-,-\right)\leftrightarrow(+,+)$ \item $\phi=\frac{\pi}{2}$ Ellipse (bzw. Kreis) / nicht gedreht \item $\frac{\pi}{2}<\phi<\pi$ Ellipse ähnlich Diagonale $\left(-,+\right)\leftrightarrow(+,-)$ \item $\phi=\pi$ Diagonale $\left(-,+\right)\leftrightarrow(+,-)$ \end{itemize} \end{description} \section{Energie} \subsection{Mechanische Arbeit\index{Arbeit}} \begin{description} \item [Arbeit\index{Arbeit}]$W=F\cdot s\cdot\cos\alpha=\vec{F}\cdot\vec{s}$; $W_{1,2}=\int_{s1}^{s2}F\,\cos\alpha\: ds$; $W_{1,2}=\int_{v1}^{v2}mv\: dv$ \begin{itemize} \item $\left[W\right]=Nm=J=$ Joule \item $F$ Kraft; $s$ Weg; $\alpha$ Winkel zwischen $F$ und $s$ \end{itemize} \end{description} \begin{enumerate} \item Federarbeit\index{Federarbeit}\index{Feder!Arbeit} $W(x)=\frac{1}{2}Dx^{2}$ \begin{itemize} \item $D$ Federkonstante \item $x$ Auslenkung aus der Ruhelage \end{itemize} \end{enumerate} \begin{description} \item [Leistung\index{Leistung}]$P=\frac{dW}{dt}=\dot{W}$ \begin{itemize} \item $\left[P\right]=\frac{J}{s}=W=$ Watt \item $P=Fv$ (Sonderfall Konst. Kraft) \end{itemize} \end{description} \subsection{Energie\index{Energie}} \begin{description} \item [Allgemein]$W_{1,2}=E_{2}-E_{1}$ \begin{itemize} \item Arbeit $W_{1,2}$ die nötig ist um die Energie von $E_{1}$ zu $E_{2}$ zu ändern. \item $\left[E\right]=\left[W\right]=Nm=J=$ Joule $=\frac{m^{2}kg}{s^{2}}$ \end{itemize} \item [Kinetische~E.\index{Kinetische Energie}\index{Energie!Kinetische}]$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{p^{2}}{2m}$ \begin{itemize} \item $v$ Geschwindigkeit \item $p$ Impuls \end{itemize} \item [Potentielle~E.\index{Potentielle Energie}\index{Energie!Potentielle}\index{Lageenergie}\index{Energie!Lage}]$E_{pot}=m\, g\, h$ \begin{itemize} \item Gleicher Nullpunkt der Energie wie bei \ref{mBahnenergie}, wenn $h=R_{Erde}+y$. ($y$ Höhe über normal Null) \item Allgemein ist die die Energie der Lage, in der Sich ein Objekt befindet. \end{itemize} \item [E.~Erhaltung\index{Energie!Erhaltung}]$E_{G}=\sum_{n}E_{n}$= konstant \item [Verluste\index{Verluste}]$Q=E_{Vorher}-E_{nachher}$ \begin{itemize} \item Wenn bei einem Vorgang Energie {}``verschwindet'' wird diese meistens in Wärme umgewandelt. Diese {}``Verluste'' werden meistens mit $Q$ abgekürzt. \end{itemize} \end{description} \section{Planeten\index{Planeten} und Sattelitenbewegung\index{Sattelitenbewegung}\index{Bewegung!Satteliten}\index{Satteliten!Bewegung}} \subsection{Gravitation\index{Gravitation}} \begin{description} \item [Massenanziehung\index{Massenanziehung}]$F=-G\frac{Mm}{r^{2}}$ \begin{itemize} \item $M,m$ die beiden Massen die sich anziehen \item $G=6,673\cdot10^{-11}\frac{Nm^{2}}{kg^{2}}$ Gravitationskonstante; $\left[G\right]=\frac{Jm}{kg^{2}}=\frac{m^{3}}{s^{2}kg}$ \item $r$ Abstand der Massenmittelpunkte (Kugelförmige Massen) \end{itemize} \end{description} \subsection{Planetensystem\index{Planetensystem}} Siehe Tabelle \vref{cap:=DCbersicht-Planetensystem} % \begin{table}[h] \caption{\label{cap:=DCbersicht-Planetensystem}Übersicht Planetensystem} \begin{tabular}{|c|c|p{12mm}|p{7mm}||c|} \hline & & Masse ($m_{Erde}$)& Bahn (AE)& \tabularnewline \hline \hline Sonne& & 333'000& & \tabularnewline \hline Merkur& & 0,05& 0,4& \emph{M}ein\tabularnewline Venus& nah& 0,8& 0,7& \emph{V}ater\tabularnewline Erde& klein& 1& 1& \emph{E}rklärt\tabularnewline Mars& & 0,1& 1,5& \emph{m}ir\tabularnewline \hline Jupiter& groß& 320& 5& \emph{j}eden\tabularnewline Saturn& & 95& 10& \emph{S}onntag\tabularnewline \hline Uranus& & 15& 20& \emph{u}nsere\tabularnewline Neptun& weit weg& 17& 30& \emph{N}eun\tabularnewline Pluto& & 0,003& 40& \emph{P}laneten\tabularnewline \hline \end{tabular} \end{table} \subsection{Erde\index{Erde}} \begin{description} \item [Masse]$m_{Erde}=5,9763\cdot10^{24}kg$ \item [Bahnradius]$r_{Erde}=1,5\cdot10^{11}m=1\: AE=$\emph{A}stronomische \emph{E}inheit (Entfernung der Erde zur Sonne) \item [Erdradius]$R_{Erde}\approx6371\cdot10^{3}m$ \end{description} \subsection{Planeten- und Sattelitenbahnen} \begin{description} \item [Zentripetalkraft\index{Zentripetalkraft}\index{Kraft!Zentripital}]$F_{z}=-\frac{mv^{2}}{r}$ \begin{itemize} \item Zum Kreismittelpunkt gerichtet (dann Positiv) \end{itemize} \item [Kreisbahn~Geschwindigkeit]$v_{kreisbahn}=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ \begin{itemize} \item z.B. Erdnahe Bahn $v\approx7,9\frac{km}{s}$ \end{itemize} \item [Umlaufdauer\index{Umlaufdauer}]$T=\frac{2\pi r}{v_{k}}=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$ \item [\label{mBahnenergie}Potentielle~Bahnenergie\index{Bahnenergie}\index{Energie!Bahn}]$E_{p}=-G\frac{Mm}{r}$ \begin{itemize} \item nur potentielle, ohne Bewegung in der Bahn (kinetisch)!!! \end{itemize} \item [Gesamt~Bahnenergie]$E=E_{P}+E_{kin}=\frac{E_{P}}{2}=-G\frac{Mm}{2r}$ \item [Maximale~Reichweite\index{Reichweite}]$r_{max}=\frac{2GMR}{2GM-v_{max}^{2}R}$ \begin{itemize} \item $R$ Startradius \item wenn $v_{max}v_{F}$ Hyperbelbahn (Energie Überschuss) \end{itemize} \item [Kreisbahn\index{Kreisbahn}\index{Bahn!Kreis}]$E_{Kreis}=\frac{1}{2}\left|E_{pot}\right|$ \end{description} \section{Elektrostatisches Feld\index{Feld}\index{Elektrostatik}\index{Feld!Elektrostatisches} \textsf{\textmd{\small I.153}}} Beim elektrostatischen Feld ändert sich die Position der Ladung über die Zeit nicht. Es kommen also nur Isolatoren als Dielektrikum\index{Dielektrikum} in Frage. \subsection{Grundlagen \textsf{\textmd{\small I.153}}} Alle verkoriellen Gleichungen lassen sich skalar lösen, wenn man sie längs einer Feldline betrachtet! \begin{description} \item [E-Feld]$\vec{E}=-\mathrm{grad}\phi=-\left(\vec{e}_{x}\frac{\partial\phi}{\partial x}+\vec{e}_{y}\frac{\partial\phi}{\partial y}+\vec{e}_{z}\frac{\partial\phi}{\partial z}\right)$ \begin{itemize} \item Resultierendes Feld (vektorielle Überlagerung der Einzelfelder)\\ $\vec{E}=\sum_{k=1}^{n}\vec{E}_{k}$ \item entlang Feldlinie\\ $E=\frac{d\phi}{dx}$ \end{itemize} \item [Kräfte~im~E-Feld]$\vec{F}=q\vec{E}$ \begin{itemize} \item Kraft die auf die Probeladung $g$ im E-Feld wirkt \item Lassen sich (vektoriell) Übelagern\\ $\vec{F}=\sum_{k=1}^{n}\vec{F}_{k}$ \end{itemize} \item [Verschiebungsdichte\index{Verschiebungsdichte}]$\vec{D}=\varepsilon\vec{E}$ \begin{itemize} \item Elektrisches Feld unabhängig vom Dielektrikum \end{itemize} \item [Dieelektrizitätskonstante\index{Dieelektrizitätskonstante}]$\varepsilon=\varepsilon_{m}\varepsilon_{0}$ \begin{itemize} \item materialabhängige Konstante \item $\varepsilon_{0}=8,8542\cdot10^{-12}\frac{As}{Vm}$ Dieelektrizitätskonstante (im Vakuum / ähnlich Luft) \end{itemize} \item [Feldlinien\index{Feldlinien}]$+\rightarrow-$ \begin{itemize} \item Richtung: von positiven Ladungen zu negativen (theoretische Bewegungsrichtung von Positiven Ladungsträgern / technische Stromrichtung) \item Abstand: je dichter, je stärker das Feld \item Richtung: Kraftrichtung auf eine Positive Ladung \item Parallel: Homogenes Feld \item E-Feld ist Wirbelfrei\index{Wirbelfrei} / Quellenfeld\index{Quellenfeld}\\ $\oint\vec{E}d\vec{s}=0$ (Potential auf Umlauf 0, 1. Kirchhoff) \item Treten Senkrecht aus Leiteroberflächen aus \end{itemize} \item [Potentialfunktion\index{Potentialfunktion}]$\phi\left(A\right)=-\int_{0}^{A}\vec{E}\ d\vec{s}=-U_{0A}$ \begin{itemize} \item Bei der Potentialfunktion muss ein passender Bezugspunkt gewählt werden, hier $0$. Allgemein irgendein markanter Punkt in der Aufgabenstellung. Kürzt sich bei der Differenz zweier Potentiale ohnehin heraus. \item $\oint_{L}\vec{E}d\vec{s}=0$ \\ Potentialfunktion ist Wegunabhängig - Konservatives Feld\\ (1. Kirchhoff) \item Gesamtpotential ist Überlagerung der Einezelpotentiale\\ $\phi=\sum_{k=1}^{n}\phi_{k}$ \item Aufteilung der Spannungen \\ $U=U_{0}\frac{y}{d}$ \begin{itemize} \item $d$ Länger der Feldlinie \item $U_{0}$ Spannung über der gesamten Feldlinie \item $y$ Entfernung auf Feldlinie vom Ausgangspunkt \end{itemize} \end{itemize} \item [Äqui-Potential-Fläche\index{Fläche}]$U=$konstant; $E_{p}=$konstant \begin{itemize} \item ähnlich wie Höhenlinien bei Bergen \item Äqui-Potential-Fläche$\perp\vec{E}$-Feld (Feldlinien) \item Feldlinien Treten senkrecht aus \emph{jeder} Leiteroberfläche aus, da Leiteroberflächen Äqui-Potential-Flächen bilden \end{itemize} \item [Elektrischer~Fluss\index{Elektrischer Fluss}]$\psi_{e}=\int_{A}\vec{D}\ d\vec{A}$ \begin{itemize} \item $\vec{A}$ Vektor der Senkrecht auf der Hüllfläche\index{Hüllfläche} steht \item gilt nur bei nicht geschlossener Hüllfläche \end{itemize} \item [Gauß'scher~Satz~der~Elektrostatik\index{Gauß'scher Satz der Elektrostatik}]\label{des:Gau=DF'scherSatzderElektrostatik}$Q=\oint_{A}\vec{D}\ d\vec{A}$ \begin{itemize} \item Auch $Q=AD$ wenn A zu allen Feldlinien Rechtwinklig \item Ladungungsmenge die in der umschlossenen Hüllfläche liegt \item Wenn eine Hüllfläche bekannt ist, die senkrecht von den Feldlinien durchdrungen wird, lässt sich so die Verschiebungsdichte, bzw. die Ladung bestimmen \end{itemize} \item [Kapazität\index{Kapazität}]\label{des:Kapazit=E4t}$Q=C\cdot U$ \begin{itemize} \item $C=\frac{Q}{\phi_{+}-\phi_{-}}\qquad C'=\frac{\lambda}{\phi_{+}-\phi_{-}}$ \begin{itemize} \item $\phi_{+}$ Potential an positiver Elektrode (mit $Q$ als Ladung) \item $\phi_{-}$ Potential an negativer Elektrode (mit $-Q$ als Ladung) \end{itemize} \item $C'$ Kapazität pro Länge (z.B. bei Leitungskapazitäten) \end{itemize} \end{description} \subsection{Spezielle Felder} \subsubsection{Sternförmige\index{Felder!Sternförmige} / Homogene Felder\index{Felder!Homogene}} \begin{description} \item [Coulombfeld\index{Feld!Coulomb}]$\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Q}{\left|r\right|^{2}}\cdot\frac{\vec{r}}{\left|r\right|}$ \begin{itemize} \item für Kugelförmige bzw. Punkt-förmige Ladungen \end{itemize} \item [Kugel]$E=\frac{U_{0}R}{\left|r\right|^{2}}$ \begin{itemize} \item Bequemere Schreibweise über Spannung $U_{0}$ gegenüber Potential im Unendlichen \item $R$ Durchmesser der Kugel \item Kapazität\\ $C=4\pi\varepsilon R$ mit $R_{2}$ im unendlichen\\ $C=\frac{4\pi\varepsilon}{\frac{1}{R}-\frac{1}{R_{2}}}$ mit $R_{2}$ als umhüllende Kugel im endlichen \end{itemize} \item [Umhüllte~Kugel]$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon}\left(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\right)$ \begin{itemize} \item $r_{1}$ Radius Innenkugel \item $r_{2}$ Radius Umhüllung \end{itemize} \item [Platten~Kondensator\index{Kondensator}\index{Kondensator!Platten}]$E=\frac{U_{0}}{d}=\frac{Q}{\varepsilon A}$ \begin{itemize} \item $A$ Fläche der Kondensator-platten (Parallel!/plan) \item $d$ Abstand der Platten \item $C=\frac{A\varepsilon}{d}=\frac{Q}{U_{0}}$ Kapazität \item Aufteilung Spannungen $U=U_{0}\frac{y}{d}$ (y Höhe über einer Platte) \item Reihenschaltung \begin{itemize} \item $\frac{1}{C_{g}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{C_{k}}$ \item (in etwa) Plattenabstand addiert sich \end{itemize} \item Parallelschaltung \begin{itemize} \item $C_{g}=\sum_{k=1}^{n}C_{k}$ \item (in etwa) Plattenfläche addiert sich \end{itemize} \end{itemize} \end{description} \subsubsection{Dipol\index{Dipol} \textsf{\textmd{\small I.166}}} \begin{description} \item [Charakteristika]~ \begin{itemize} \item Ladungen vom Betrag gleich \item Unterschiedliche Vorzeichen \end{itemize} \item [Dipolmoment\index{Dipolmoment}]$P=aQ$ \begin{itemize} \item $a$ Abstand der beiden Ladungsmittelpunkte \end{itemize} \item [Nahfeld\index{Nahfeld}]~ \begin{itemize} \item $r\approx a\rightarrow$ Nahfeld \item Zwischen Ladungen in etwa homogen \item Um die Ladungen etwa Sternförmig \end{itemize} \item [Fernfeld\index{Fernfeld}]$E_{r}=\frac{P}{2\pi\varepsilon}\cos\alpha\frac{1}{r^{3}}\,\,\, E_{\bot}=\frac{P}{4\pi\varepsilon}\sin\alpha\frac{1}{r^{3}}$ \begin{itemize} \item $r\gg a\rightarrow$ Fernfeld \item $P$ Dipolmoment \item $\alpha$ Winkel relativ zur Dipolachse (Gerade durch beide Ladungen / mit Berühren) \item $r$ Radius relativ zum Dipolmittelpunkt \item $E_{r}$ Fernfeld Radialanteil \item $E_{\bot}$ Fernfeld Anteil sekrecht zum Radius (von - nach +) \end{itemize} \end{description} \subsubsection{Linienladungen\index{Linienladung} \textsf{\textmd{\small I.167}}} \begin{description} \item [Ladungsdichte\index{Ladungsdichte}\index{Linienladung!Ladungsdichte}]$\lambda=\frac{dQ}{ds}$ \item [Potentialfunktion]$\phi(r)=\frac{\lambda}{4\pi\varepsilon}\mathrm{Arsh}\left.\frac{s-y}{r}\right|_{l_{1}}^{l_{2}}$ \begin{itemize} \item Die Linienladung liegt im 2-Dim Koordinatensystem auf der Y-Achse im Bereich von $l_{1}$ bis $l_{2}$. \item $r$ ist sozusagen der senkrechte Abstand von der Linienladung, lässt sich also auch auf 3-Dim übertragen ($r=$Radius in x,z Ebene) \end{itemize} \item [Potentialfunktion~$\infty$-lange~Ladung]$\phi(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\ln\left(\frac{\textrm{const}}{r}\right)$ \begin{itemize} \item const im $ln$, da sich so die Einheit von $r$ herauskürzt. \end{itemize} \item [E-Feld~$\infty$-lange~Ladung]$E(r)=\frac{\lambda}{2\pi r\varepsilon}$ \begin{itemize} \item Radial (und senkrecht) von der Linienladung nach außen (nach innen) gerichtet \item gilt für eine unendlich lange Linienladung \end{itemize} \item [Koaxialkabel\index{Koaxialkabel}]$C'=\frac{2\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{r_{a}}{r_{i}}\right)}$ \begin{itemize} \item $C'$ Kapazität pro Länge \item $r_{i}$ Radius Innenleiter \item $r_{a}$ Radius Umhüllung \end{itemize} \item [Doppelleitung\index{Doppelleitung}]$C'=\frac{\pi\varepsilon}{\ln\left(\frac{d}{r}\right)}$ \begin{itemize} \item gilt nur wenn $r\ll d$ \item $r$ Radius der Leiter \item $d$ Abstand der Leitermittelpunkte \end{itemize} \end{description} \subsection{Im Kondensator\index{Kondensator} gespeicherte Energie\index{Energie}\index{Feld!Energie}\index{Kondesator!Energie} \textsf{\textmd{\small I.184}}} \begin{description} \item [Gesamtenergie]$W_{e}=\int_{0}^{\infty}u(t)\ i(t)\ dt=\frac{1}{2}CU^{2}=\frac{1}{2}QU=\frac{Q^{2}}{2C}$ \begin{itemize} \item $u(t),i(t)$ Ladespannung und Strom am Kondensator (Gesamtenergie = Unendliche Ladedauer) \item $C$ Kapazität \item $U$ Spannung am Kondensator \item $Q$ Ladung auf den Kondensatorplatten \end{itemize} \item [Gesamtenergie~Plattenkondensator]$W_{e}=Ad\int_{0}^{\infty}E\ dt=V\int_{0}^{D_{e}}E\ dD$ \begin{itemize} \item $A$ Palttenfläche \item $d$ Plattenabstand \item $V$ Volumen (zwischen Platten) \item $D_{e}$ Endwert der Verschiebungsdichte \item Energie~pro~Volumen $w_{e}=\int_{0}^{D_{e}}E\ dD$\\ (gilt auch für inhomogenes $\varepsilon$) \end{itemize} \item [Energiedichte\index{Energiedichte}]$w_{e}=\frac{1}{2}\varepsilon E^{2}=\frac{1}{2}DE=\frac{D^{2}}{2\varepsilon}$ \begin{itemize} \item $w_{e}$ ist Energie pro Volumen im E-Feld \end{itemize} \item [Energieverlust~beim~Parallelschalten]$W_{v}=\frac{\left(Q_{1}C_{2}-Q_{2}C_{2}\right)^{2}}{2C_{1}C_{2}\left(C_{1}+C_{2}\right)}$ \begin{itemize} \item Wenn Kondensatoren parallelgeschaltet werden, tritt beim Umladevorgang ein Energieverlust auf. Dieser wird entweder in Wärme und abgestrahlt. \item $W_{G}=W_{1}+W_{2}-W_{v}$ \end{itemize} \end{description} \subsection{Energie im Elektrischen Feld (Mechanisch) \textsf{\textmd{\small I.186}}} \begin{description} \item [Arbeit~im~E-Feld]$W_{mech}=q\int_{A}^{B}\vec{E}\ d\vec{s}=qU_{AB}$ \begin{itemize} \item Da es sich um eine konservative Kraft handelt ist es egal welcher Weg gewählt wird, nur der Start- und Endpunkt sind entscheiden $\oint_{L}\vec{E}\ d\vec{s}=0$ \item lässt sich in normales Produkt überführen, wenn man den Weg längs einer Feldlinie wählt \end{itemize} \item [Potentielle~Energie]$E_{P}=qU$ \begin{itemize} \item $q$ Probeladung \item $U$ Spannung / Potential am Ort \end{itemize} \item [Potentielle~Energie~Kugel-Kondensator]$E_{P}=\frac{1}{4\pi\varepsilon}\frac{Qq}{r}=U_{o}\frac{R}{r}q$ \begin{itemize} \item $r$ Abstand Zentrum Kugel-Kondensator zu Zentrum Probeladung \item $R$ Durchmesser Kugel-Kondensator \item $U_{0}$ Spannung an Kugel-Kondensator \end{itemize} \item [Kräfte~an~Kondensatorplatten\index{Kraft!Kondensator}\index{Kondensator!Kraft}]$F_{x}=\frac{U^{2}\varepsilon A}{2d^{2}}=\frac{E^{2}\varepsilon A}{2}=\frac{D^{2}A}{2\varepsilon}$ \begin{itemize} \item Auf jeweils andere Platte gerichtet \end{itemize} \end{description} \subsection{Weitere Details} Hier verweise ich auf die von mir verfasste Formelsammlung {}``Formelsammlung Grundlagen der Elektrotechnik I/II''. Hier sind wesentlich mehr Details zum E-Feld incl. diversen Berechnungsmethoden enthalten. Zudem sind diese Formeln dort per Drag \& Drop dort herauskopiert, was allerdings nicht unbedingt deren aktuellen Stand garantiert. \section{Magnetische Felder\index{Felder!Magnetische}\index{Magnetische!Felder}} \subsection{Grundlagen} \begin{description} \item [Magnetfeld]$\vec{H}$ \begin{itemize} \item durch Strom $I$ erzeugt \item Magnetfeld, Feldstärke (Erregung)$\left[\vec{H}\right]=\frac{A}{m}=H$ enry \end{itemize} \item [Flussdichte\index{Flussdichte}\index{Magnetische!Flussdichte}]$\vec{B}=\mu_{0}\vec{H}$ \begin{itemize} \item Flussdichte (Induktion)$\left[\vec{B}\right]=\frac{Vs}{m^{2}}=T$ esla \item $\mu_{0}=4\pi10^{-7}\frac{Vs}{Am}$ Permeabilitätskonstante im Vakuum (Luft ähnlich) \end{itemize} \item [Gerader~Leiter\index{Magnetische!Gerader Leiter}]$\left\Vert \vec{H}\right\Vert =\frac{I}{2\pi r}$ \begin{itemize} \item Richtung mit Rechte-Hand-Regel. Daumen in Stromrichtung $\vec{I}$ $\rightarrow$ geschlossene Finger in Magnetfeldrichtung $\vec{H}$. \item $I$ Strom durch Leiter \item $r$ Abstand vom Leitermittelpunkt (senkrecht zum Leiter) \end{itemize} \end{description} \subsection{Spule\index{Spule}\index{Magnetische!Spule}} \begin{description} \item [magnetisches~Dipolmoment]$\mu=nI\pi R^{2}$ \begin{itemize} \item $n$ Windungszahl \item $I$ Strom \item $R$ Radius der Spule \end{itemize} \item [Innen]$H_{Z}=\frac{\mu}{2\pi}\frac{1}{z^{3}}$ \begin{itemize} \item innen in etwa homogenes Feld \item $z$ Abstand entlang der Dipolachse (von Spule umschlossene Achse) von Dipolmittelpunkt aus \end{itemize} \item [Fernfeld\index{Fernfeld}]$H_{r}=\frac{\mu}{2\pi}\cos\alpha\frac{1}{r^{3}}\,\,\, H_{\bot}=\frac{\mu}{4\pi}\sin\alpha\frac{1}{r^{3}}$ \begin{itemize} \item Dipolfeld \item $r\gg2R\rightarrow$ Fernfeld \item $\mu$ magnetisches Dipolmoment \item $\alpha$ Winkel relativ zur Dipolachse (Gerade die durch Spule umschlossen wird) \item $r$ Radius relativ zum Dipolmittelpunkt \item $E_{r}$ Fernfeld Radialanteil \item $E_{\bot}$ Fernfeld Anteil sekrecht zum Rasius (von - nach +) \end{itemize} \end{description} \subsection{Permantentmagneten\index{Permantentmagneten}\index{Magnetische!Permanent}} \begin{description} \item [Pole\index{Pole}\index{Magnetische!Pole}]$N\hat{=}(+)\,\,\, S\hat{=}(-)$ \item [Flussdichte\index{Magnetische!Flussdichte}\index{Flussdichte}]$\vec{B}=\mu(\vec{H}+\vec{M})$ \begin{itemize} \item $\vec{M}$ Magnetisierung\index{Magnetische!Magnetisierung}\index{Magnetisierung}; $\left[\vec{M}\right]=\frac{A}{m}=H$enry \end{itemize} \item [magnetische~Materialien]Eisen, Nickel, Kobald, Ferritte (Eisen Oxid),\\ NdFeB (NeodynEisenBohr / SEHR stark) \item [atomares~magnetisches~Moment\index{Magnetische!Moment}\index{Moment!Magnetisches}]$\mu=$$\frac{1}{2}evR$ \begin{itemize} \item $e=1,6022\cdot10^{-19}As=$elektrische Elementarladung (siehe\vref{elementarLadung}) \item $v$ Elektronen Hüllengeschwindigkeit \item $R$ Atomhüllenradius \end{itemize} \item [Bohrsches~Magneton\index{Bohrsches Magneton}]$\mu_{B}=9,2742\cdot10^{-24}\frac{J}{T}\quad\left[\mu_{B}\right]=\frac{J}{T}=Am^{2}$ \begin{itemize} \item Wasserstoff: $\mu=1\mu_{B}$ \item z.B. Eisen: $\mu=2,2\mu_{B}$ \end{itemize} \item [Magnetisierung\index{Magnetisierung}\index{Magnetische!Magnetisierung}]$\vec{M}=N\vec{\mu}$ \begin{itemize} \item $N=\frac{\rho}{m_{A}}=\frac{\rho}{A\cdot u}$ Anzahl Atome im betrachteten Körper (siehe \vref{atomareMasse}) \item z.B. Eisen: $N_{Fe}=8,4\cdot10^{28}m^{-3}\,\,\, M_{Fe}=1,72\cdot10^{6}\frac{A}{m}$ \end{itemize} \item [Permiabilität\index{Permiabilität}\index{Magnetische!Permiabilität}]$\mu_{r}=\frac{M}{H}$ \begin{itemize} \item ist nicht Konstant im Material, sondern eine Kurve. \end{itemize} \end{description} \subsection{Kenngrößen von Magnetischen Materialien} \begin{description} \item [Magnetische~Domänen\index{Magnetische!Domänen}](auch Weisschen Bezirke\index{Weisschen Bezirke}\index{Magnetische!Weisschen Bezirke}) Dieses sind Bereiche innerhalb von Permantentmagneten, die durch atomare Felder im Bereich von 500 Tesla gleich ausgerichtet sind. Durch Einwirkung von Außen lassen sich mehrere dieser Bereiche in ihrer Ausrichtung drehen, bzw. sich die Wände zwischen ihnen bewegen. So erhält das Material eine nach außen wirksames Magnetfeld. \item [Hysteresekurve\index{Hysteresekurve}\index{Magnetische!Hysteresekurve}]$H\Rightarrow M$\\ Dies ist ein Diagramm, in dem die Magnetisierung $\vec{M}$ über $H$ aufgetragen ist. In diesem Diagramm sind 2 bzw. 3 Linien übereinander vorhanden, da es bei den Materialien einen Unterschied macht, wie ihre Magnetisierung vorher war, wenn ein neuer $H$ Wert auf sie wirkt. Aufgenommen werden sie so: $H$ bei 0 starten und bis zum +Maximum erhöhen, bei einem noch nicht magnetisierten Material. Dies ist die Neukurve. Nun $H$ bis -Maximum absenken, und wieder bis +Maximum erhöhen. Dies beiden Kurven sind nicht deckungsgleich, und ergeben eine Hysterese. \item [Sättigung\index{Sättigung}\index{Magnetische!Sättigung}]$M_{S}$\\ Bei der Sättigung erhöht sich der Wert von $\vec{M}$ nicht weiter, da alle magnetischen Domänen bereits gleichgerichtet sind. \item [Remanenz\index{Remanenz}\index{Magnetische!Remanenz}]$M_{R}$\\ Die Remanenz ist der $\vec{M}$ Wert, der sich bei einem $H$ von 0 einstellt (nicht Neukurve). \item [Koerzitiv~Feldstärke\index{Koerzitiv Feldstärke}\index{Magnetische!Koerzitiv Feldstärke}]$H_{C}$\\ ist die Feldstärke $H$ die benötigt wird, um die Magnetisierung $\vec{M}$ den Wert 0 annehmen zu lassen (nicht Neukurve). \item [Ummagnetisierungs~Verluste\index{Ummagnetisierung}\index{Magnetisch!Ummagnetisierung}]entstehen durch die Hysterese. Sie entsprechen der Fläche zwischen den beiden Kurven. \item [Weichmagnetisch\index{Weichmagnetisch}]nennen sich die Stoffe die eine schwach ausgeprägte Hysterese besitzen ($H_{C}$ und $M_{R}$ klein). \begin{itemize} \item Materialien: PermalloyFeNi, amorphe Legierungen \item Anwendungen: Transformatorblech (geringe Verluste) \end{itemize} \item [Hartmagnetisch\index{Hartmagnetisch}]nennen sich die Stoffe die eine stark ausgeprägte Hysterese besitzen ($H_{C}$ und $M_{R}$ groß, $M_{R}\approx M_{S}$). \begin{itemize} \item Materialien: PermalloyFeNi, amorphe Legierungen \item Anwendungen: Transformatorblech (geringe Verluste) \end{itemize} \end{description} \section{Elektronen\index{Elektronenstrahlen}\index{Strahlen!Elektronen} und Ionenstrahlen\index{Strahlen!Ionen}\index{Ionenstrahlen}} \subsection{Kräfte aus dem E-Feld} \begin{description} \item [Beschleunigung~im~E-Feld]$a=\frac{qE}{m}$ \item [Energieaufnahme]$\Delta E=q\left(U_{2}-U_{1}\right)$ \begin{itemize} \item Wenn sich eine Ladung vom Potential 1 zum Potential 2 im E-Feld frei bewegt, nimmt sie diese Energie auf \item Ein Elektron, das im einen Feld eine Potentialdifferenz von z.B. $5V$ durchläuft, nimmt $5eV$ (Elektronenvolt\index{Elektronenvolt}) kinetische Energie auf. \end{itemize} \item [Beschleunigung]$v=\sqrt{\frac{2q\left(U_{2}-U_{1}\right)}{m}}$ \begin{itemize} \item Wenn $v_{0}=0$ \item im Allgemeinen ist die Bewegungsrichtung $\neq$ der Feldrichtung \item Nur für $v\ll c_{0}$ \end{itemize} \end{description} \subsubsection{Anwendung: Elektronenspektrometer\index{Elektronenspektrometer}} Hier wird ein Elektronenstrahl mit der Geschwindigkeit $v_{0}$ genau in die Mitte eines Plattenkondensator senkrecht zu den Feldlinien geleitet. Durch das anliegende Feld bewegen sich die Elektronen in einer Bahn auf ein der Platten zu. Wenn nun in einer der Platten ein Detektor für Elektronen angebracht ist, lässt sich durch Variation der Spannung die Geschwindigkeit des Elektronenstrahls\index{Elektronenstrahl}\index{Strahl!Elektronen} bestimmen. \begin{description} \item [Bahnkurve]$y=\frac{qU}{2md}\left(\frac{x}{v_{0}}\right)^{2}$ \begin{itemize} \item $U$ Spannung am Kondensator \item $d$ Plattenabstand \item $q,m$ Ladung und Masse des Elektrons \end{itemize} \item [Aufschlagspunkt]$L=\sqrt{\frac{md^{2}v_{0}^{2}}{qU}}$ \begin{itemize} \item $L$ Entfernung auf der x-Achse die das Elektron nach Eintritt in den Kondensator zurücklegt, bevor es eine Platte berührt \end{itemize} \item [Anfangsgeschwindigkeit]$v_{0}=\sqrt{\frac{qUL^{2}}{md^{2}}}$ \end{description} \subsection{Kräfte aus dem Magnetfeld\index{Magnetfeld!Kraft}\index{Magnetfeld} (Lorentz-Kraft\index{Lorentz-Kraft})} \begin{description} \item [Kraft\index{Kraft}]$\vec{F}=L\left(\vec{I}\times\vec{B}\right)$ \begin{itemize} \item $L$ Länge des Leiters im Magnetfeld \item $\left\Vert \vec{F}\right\Vert =I\cdot B\cdot L\cdot\cos\alpha$ und $\vec{B}\perp\vec{F}\perp\vec{I}$ \begin{itemize} \item $\alpha$ ist Winkel zischen $\vec{B}$ und $\vec{I}$ (bzw. der Leitung) \item $L\cdot\cos\alpha$ ist effektive Länge der Leitung im B-Feld (Rechtwinklig dazu) \end{itemize} \item Rechte-Hand-Regel\\ Daumen x Zeigefinger = Mittelfinger (Angewinkelt) \end{itemize} \item [Kraft~pro~Teilchen]$\vec{F}_{q}=q\cdot\vec{v}\times\vec{B}$ \begin{itemize} \item Richtung von F: bei negativen Ladungen: Rechte-Hand-Regel\\ (Daumen x Zeigefinger = Mittelfinger (Angewinkelt));\\ bei negativen Ladungen: Linke-Hand-Regel \end{itemize} \item [Bahnradius\index{Bahnradius}]$r=\frac{mv_{\perp}}{qB}$ \begin{itemize} \item $v_{\perp}$ Geschwindigkeitskomponente rechtwinklig zu B \item $v_{||}$ Geschwindigkeitskomponente parallel zu B \item Kreisbahn, wenn $v=\textrm{const}=v_{\perp}$ bzw. $v_{||}=0$ \item Schraubenbewegung, wenn $v=\textrm{const}$ und $v_{||}\neq0$. $v_{||}$ wird nicht durch $\vec{B}$ beeinflusst. \item Radius wird immer kleiner, wenn $v$ z.B. durch Reibung verringert wird (Spirale) \end{itemize} \item [Ablenkung~in~Kurzen~Feldbereich]$\sin\alpha=\frac{l}{r}=\frac{qBl}{mv}$ \begin{itemize} \item $\alpha$ Winkel, um den das Teilchen abgelenkt\index{Ablenkung} das Feld wieder verlässt. \end{itemize} \end{description} \subsubsection{Anwendung} \begin{itemize} \item Fernseher \item Massenspektrometer (Materialanalyse - Radius Hängt von Teilchenmasse ab) \item Magnetischer Einschluss (Fusionsreaktoren als Hüllwand) \item Teilchenbeschleuniger (Wie ein Vieleck aufgebaut, in den Ecken wird Teilchen durch Magnetfeld umgelenkt) \end{itemize} \section{Impuls\index{Impuls}} \subsection{Impulsgesetz} \begin{description} \item [Impuls]$\vec{p}=m\vec{v}=\sqrt{2mE_{kin}}$ \item [Kraft]$\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}$ \item [Energie]$W=\frac{p^{2}}{m}=\frac{1}{2}mv^{2}$ \item [Gesamtimpuls]$\vec{p}_{ges}=\sum\vec{p}_{k}$ \item [Impulserhaltung\index{Impulserhaltung}]$\vec{p}_{ges}=$ konstant \begin{itemize} \item Im geschlossenen System. Es dürfen keine Kräfte von/nach Außen wirken ($\vec{F}_{ges}=0$). \item z.B. bei beschleunigenden Fahrzeugen gehört die Erde mit ins System!! \item Energie darf im System umgewandelt werden. \end{itemize} \end{description} \subsubsection{Raketenantrieb\index{Raketenantrieb}} \begin{description} \item [Schubkraft\index{Schubkraft}]$F=m\frac{dv}{dt}=v_{0}\frac{dm_{g}}{dt}$ \begin{itemize} \item $m$ Masse der Rakete \item $m_{g}$ Masse des Ausgestoßenen Gases (Treibstoff) \item $v_{0}$ Austrittsgeschwindigkeit des Gases (relativ zur Rakete) \end{itemize} \item [Geschwindigkeitsänderung]$\Delta v=v_{2}-v_{1}=-\int_{m_{1}}^{m_{2}}v_{0}\ dt=v_{0}\ln\left(\frac{m_{1}}{m_{2}}\right)$ \begin{itemize} \item $m_{1}$ Anfangsmasse der Rakete \item $m_{2}$ Endmasse der Rakete \item $v_{0}$ Austrittsgeschwindigkeit des Gases (relativ zur Rakete) \end{itemize} \end{description} \subsubsection{Strahltriebwerk\index{Strahltriebwerk} (Flugzeug\index{Flugzeug})} \begin{description} \item [Schubkraft\index{Schubkraft}]$F=m_{F}\frac{dv}{dt}=\left(v_{0}-v\right)\frac{dm_{L}}{dt}-\alpha v$ \begin{itemize} \item $m_{F}$ Masse des Flugzeuges \item $m_{L}$ Masse der beschleunigten Luft \item $v_{0}$ Austrittsgeschwindigkeit der Luft im Triebwerk (relativ zum Flugzeug) \item $v$ Geschwindigkeit des Flugzeuges \item $\alpha$ Luftwiderstand \end{itemize} \item [Geschwindigkeit]$v\left(t\right)=v_{e}\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$ \begin{itemize} \item $v_{e}=v_{0}\frac{\dot{m_{L}}}{\dot{m_{L}}+\alpha}$ Endgeschwindigkeit des Flugzeugs \item $\tau=\frac{v_{e}m_{F}}{v_{0}\dot{m_{L}}}$ \item $\dot{m_{L}}=\frac{dm_{L}}{dt}\approx$ Luft pro Sekunde durch die Triebwerke \item $\alpha$ Luftwiderstand \end{itemize} \end{description} \subsection{Stoßvorgänge\index{Stoßvorgänge}} Es gilt die Energie und Impulserhaltung. Potentielle Energie kann meistens vernachlässigt werden, da sich der Stoß meistens innerhalb einer sehr kleinen Räumlichen Ausdehnung abspielt. \begin{description} \item [Impulsdifferenz]$p_{2}-p_{1}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\vec{F}\ dt$ \item [Maximalkraft\index{Maximalkraft}]$F_{max}\approx\frac{m\left(v_{2}-v_{1}\right)}{\Delta t}$ \begin{itemize} \item Annäherung durch Zeitlich unveränderliche Kraft \item $\Delta t$ Zeitfenster, in dem sich die Geschwindigkeit (Impuls) ändert \end{itemize} \item [Inelastischer~Stoß]\index{Inelastischer Stoß}\index{Stoß!Inelastisch}Ein inelastischer Stoß liegt vor, wenn beim Stoßvorgang ein Teil der Impulsenergie in (Verlust-) Wärme umgewandelt wird. Das heißt, das ein Teil der Energie beim Vorgang verloren geht. \item [Elastischer~Stoß]\index{Elatstischer Stoß}\index{Stoß!Elastisch}$P_{1}=\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}p_{1}\quad P_{2}=\frac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}p_{1}$ \begin{itemize} \item Diese Formel gilt für einen ideal elastischen Stoß, der vorliegt, wenn beim Stoßvorgang keine Impulsenergie in Wärme umgewandelt wird, sondern die komplette Energie den Vorgang als Impuls (Kinetische Energie) wieder verlässt. \item $p_{1}$ Impuls der mit dem die Masse $m_{1}$auf die ruhende Masse $m_{2}$ trifft \item $m_{1}=m_{2}\Rightarrow P_{1}=0\quad P_{2}=p_{1}$\\ ($m_{1}$bleibt liegen) \item $m_{1}>m_{2}\Rightarrow P_{2}>P_{1}>0$\\ (beide bewegen sich in die gleiche Richtung weiter) \item $m_{1}0$\\ ($m_{1}$ prallt ab, und stößt $m_{2}$ ein wenig an) \item $m_{1}\ll m_{2}\Rightarrow P_{1}<-p_{1}\quad P_{2}=0$\\ ($m_{1}$ prallt wird reflektiert und $m_{2}$ verharrt in Ruhe) \end{itemize} \item [Elastischer~Stoß~2-dim]\index{Elatstischer Stoß}\index{Stoß!Elastisch}$\cos\left(\alpha\right)=\cos\left(\vec{P}_{1},\vec{P}_{2}\right)=\frac{P_{2}^{2}}{2P_{1}P_{2}}\left(\frac{m_{1}-m_{2}}{m_{2}}\right)$ \begin{itemize} \item Sagt nur etwas über den Winkel zwischen den Impulsen nach dem Stoß ($\vec{P}_{1}$$\vec{P}_{2}$) aus. Allerdings nicht in Bezug auf den Impuls Vorher. \item gilt nur für Massenpunkte \item $m_{1}=m_{2}\Rightarrow$$\alpha=90°$ \item $m_{1}>m_{2}\Rightarrow$$\alpha<90°$ ($\alpha$ ist spitzwinklig) \item $m_{1}90°$ ($\alpha$ ist stumpfwinklig) \end{itemize} \item [Explosion\index{Explosion}]$E_{k1}^{(nachher)}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}Q\quad E_{k2}^{(nachher)}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}Q$ \begin{itemize} \item $Q$ bei der Explosion freigesetzte Energie \item $E_{k1}^{(nachher)}$ Energie die das Bruchfragment $1$ mit der Masse $m_{1}$ nach der Explosion besitzt. \item $m_{1}\gg m_{2}\Rightarrow E_{k1}\approx0\quad E_{k2}\approx Q$ \end{itemize} \end{description} \section{Relativitätstheorie\index{Relativitätstheorie}} \begin{description} \item [Ab~wann~relativistisch?~$10$\%]Fehler $\rightarrow v\leq\frac{1}{4}c_{0}\quad E\leq\frac{1}{10}m_{0}c_{0}^{2}$ \item [Lichtgeschwindigkeit\index{Lichtgeschwindigkeit}]$c_{0}=2,99793\cdot10^{8}\frac{m}{s}\approx3\cdot10^{8}\frac{m}{s}$ \begin{itemize} \item gilt im Vakuum (sonst kleiner) \item ist in jedem Inertialsystem\index{Inertialsystem} konstant \begin{itemize} \item Ein Inertialsystem ist ein gleichförmig bewegtes also nicht beschleunigtes System. \end{itemize} \end{itemize} \item [Geschwindigkeits~Additionstheorem]$w=\frac{u+v}{1+\frac{u\cdot v}{c_{0}^{2}}}$ \begin{itemize} \item $u,v$ zu Addierende Geschwindigkeiten \item für $u\ll c_{0}$ und $v\ll c_{0}$ gilt $w=u+v$ \end{itemize} \end{description} \subsection{Transformation zwischen Inertialsystemen} \begin{itemize} \item Ein Inertialsystem ist ein gleichförmig bewegtes also nicht beschleunigtes System. \end{itemize} Ein Ereignis habe die Koordinaten $A:\left(x,t\right)$ in einem ruhenden System und $B:\left(x',t'\right)$ im bewegten System. \begin{description} \item [Galilei-Transformation\index{Gallilei-Transformation}]$x'=x-vt\quad t'=t$ \begin{itemize} \item klassische Transformation (nicht relativistisch) \end{itemize} \item [Lorentz-Transformation\index{Lorentz-Transformation}]~\begin{eqnarray*} x' & = & \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c_{0}^{2}}}}\\ t' & = & \frac{t-\frac{v}{c_{0}^{2}}x}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c_{0}^{2}}}}\end{eqnarray*} \begin{itemize} \item relativistisch \end{itemize} \item [Zeitdilatation\index{Zeitdilatation}]$t'=t\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c_{0}^{2}}}$ \item [Lorentzkontraktion\index{Lorentzkontraktion}]$x'=x\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c_{0}^{2}}}$ \end{description} \subsection{Masse\index{Masse} und Energie\index{Energie}} \begin{description} \item [(gesamt)~Energie]$E=mc_{0}^{2}$ \item [kinetische~Energie]$E_{kin}=\left(m-m_{0}\right)c_{0}^{2}$ \item [Masse]$m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c_{0}^{2}}}}$ \item [Geschwindigkeit\index{Geschwindigkeit}]$v=c_{0}\sqrt{1-\frac{m_{0}^{2}}{m^{2}}}$ \item [Impuls\index{Impuls}]$p=\frac{E_{g}}{c_{0}}$ \begin{itemize} \item Wenn $E_{g}=E_{kin}$ bzw. $m_{0}=0$ (reine Energie) \end{itemize} \end{description} \section{Schwingungen\index{Schwingungen}} \subsection{Darstellung von Schwingungen} \begin{description} \item [harmonische~Schwingung\index{harmonische Schwingung}]$y=y_{0}\cos\left(\omega t-\phi\right)=A\cos\left(\omega t\right)+B\sin\left(\omega t\right)$ \begin{itemize} \item $A=y_{0}\cos\phi\quad B=y_{0}\sin\phi$ \end{itemize} \item [Kreisfrequenz\index{Kreisfrequenz}]$\omega=2\pi f$ \begin{itemize} \item $f=\frac{1}{T}$ Frequenz \item $T$ Periodendauer \item $\alpha=\omega t+\phi$ akt. Winkel \end{itemize} \end{description} \subsection{Schwingungstypen} \begin{description} \item [freie~Schwingung\index{freie Schwingung}]Schwingkreis schwingt mit Eigenfrequenz $\left(\omega=\omega_{0}\right)$ \item [gedämpfte~Schwingung\index{gedämpfte Schwingung}]Schwingungsamplitude wird kontinuierlich kleiner $\left(\omega_{d}\lessapprox\omega_{0}\right)$ \item [erzwungene~Schwingung\index{erzwungene Schwingung}]Es wird dem Schwingkreis eine Frequenz $\Omega$ vorgegeben (eingeprägt) \begin{itemize} \item Sonderfall: $\Omega\ll\omega_{0}\quad\Omega\gg\omega_{0}$ \item Resonanz\index{Resonanz}: $\Omega\approx\omega_{0}$ \end{itemize} \end{description} \subsection{Allgemeine Schwingung\index{Schwingung}} \begin{description} \item [Differenzialform\index{Differenzialform}]$\ddot{x}+2\delta\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=0$ \begin{itemize} \item $\delta$ Dämpfungskonstante\index{Dämpfungskonstante} \begin{description} \item [mechanisch]$\delta_{0}=\frac{R}{2m}$ \begin{itemize} \item $R$ Reibungskoeffizient \item $m$ Masse \end{itemize} \item [elektrisch]$\delta_{o}=\frac{R}{2L}$ \begin{itemize} \item $R$ Ohmscher Widerstand \end{itemize} \end{description} \item $\omega_{0}$ Eigenfrequenz\index{Eigenfrequenz} \begin{description} \item [mechanisch]$\omega_{o}=\sqrt{\frac{D}{m}}$ \item [elektrisch]$\omega_{o}=\sqrt{\frac{1}{LC}}$ \end{description} \end{itemize} \item [Bewegungsgleichung]$x\left(t\right)=x_{0}e^{-\delta t}\cos\left(\omega_{d}t\right)$ \begin{itemize} \item $\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}+\delta^{2}}\approx\omega_{0}$ gedämpfte Schwingungsfrequenz \end{itemize} \end{description} \subsection{Anharmonische\index{anharmonisch} Schwingung\index{Schwingung}} \begin{description} \item [Allgemein]$y\left(t\right)=y_{1}\cos\left(\omega t\right)+y_{2}\cos\left(2\omega t\right)++y_{3}\cos\left(3\omega t\right)+\ldots$\\ Alle periodischen Funktionen lassen sich Mathematisch durch eine Überlagerung von Cosinusschwingungen darstellen. \begin{itemize} \item Grundschwingung $\omega$ \item Oberschwingungen $2\omega,3\omega,4\omega,5\omega,\ldots$ \begin{itemize} \item sind Charakteristisch für verschiedene Instrumente \end{itemize} \item evtl. zuzüglich Grundrauschen\index{Grundrauschen} \end{itemize} \item [Rechteckschwingung]$y_{1}=+\frac{4}{\pi}\quad y_{2}=0\quad y_{3}=-\frac{1}{3}y_{1}\quad y_{4}=0\quad y_{5}=+\frac{1}{5}y_{1}\quad\ldots$ \item [Amplitudenmodulation\index{Amplitudenmodulation}]$y\left(t\right)=\cos\left(\omega t\right)\left[1+\alpha\cos\left(\omega t\right)\right]=\cos\left(\omega t\right)+\frac{\alpha}{2}\left[\cos\left(\left(\omega+\Delta\omega\right)t\right)+\cos\left(\left(\omega-\Delta\omega\right)t\right)\right]$ \begin{itemize} \item $\omega$ Trägerfrequenz\index{Trägerfrequenz} \item $\omega\pm\Delta\omega$ Seitenbänder\index{Seitenbänder} \end{itemize} \item [Schwebung\index{Schwebung}]$y\left(t\right)=\cos\left(\left(\omega+\Delta\omega\right)t\right)+\cos\left(\left(\omega-\Delta\omega\right)t\right)=2\cos\left(\Delta\omega t\right)\cos\left(\omega t\right)$ \begin{itemize} \item Wie Amplitudenmodulation bloß ohne Träger \end{itemize} \end{description} \subsection{Resonanz\index{Resonanz} (erzwungene Schwingung\index{erzwungene Schwingung})} \begin{description} \item [Allgemein]$\ddot{y}+2\delta\dot{y}+\omega_{0}^{2}y=y_{0}\omega_{0}^{2}\cos\left(\Omega t\right)$ \begin{itemize} \item $\Omega$ eingeprägte Frequenz \item $y_{0}$ Amplitude ohne Anregung und Dämpfung \end{itemize} \item [ohne~Dämpfung]$y\left(t\right)=y_{r}\left(\Omega\right)\cos\left(\Omega t\right)$ \begin{itemize} \item $y_{r}\left(\Omega\right)=y_{0}\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}}$ \item $y\left(t\right)$ hat bei Resonanz $\omega_{0}$ eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel (Phasenwechsel\index{Phasenwechsel}) \end{itemize} \item [mit~Dämpfung]$y\left(t\right)=y_{r}\left(\Omega,\delta\right)\cos\left(\omega t-\phi\right)$ \begin{itemize} \item $y_{r}\left(\Omega,\delta\right)=y_{0}\frac{\omega_{0}^{2}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\Omega^{2}\right)^{2}+a\delta^{2}\Omega^{2}}}$ \item $\omega_{r}^{2}=\omega_{0}^{2}-2\delta^{2}\approx\omega_{0}^{2}$ Resonanzfrequenz \item $y_{max}\approx y_{0}\frac{\omega_{0}}{2\delta}$ Amplitude bei Resonanz \item $\Delta\omega\approx2\delta\sqrt{3}$ Halbwertsbreite\index{Halbwertsbreite} \end{itemize} \end{description} \section{Wellen\index{Wellen}} \subsection{Grundlagen} \begin{description} \item [Phasengeschwindigkeit\index{Phasengeschwindigkeit}]$c=\lambda f$ \begin{itemize} \item bzw. Ausbreitungsgeschwindigkeit\index{Ausbreitungsgeschwindigkeit} \end{itemize} \item [Wellenlänge\index{Wellenlänge}]$\lambda$ \begin{itemize} \item Beschreibt die räumliche Länge der Welle (von einem Maximum zum nächsten) \end{itemize} \item [Wellenzahl\index{Wellenzahl}]$k=\frac{2\pi}{\lambda}$ \begin{itemize} \item auch Wellenvektor\index{Wellenvektor} genannt \end{itemize} \item [Wellenformel]$y=y_{0}\cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}\left(x-ct\right)\right)=y_{0}\cos\left(kx-\omega t\right)$ \begin{itemize} \item $x$ Ortskoordinate deren akt. Auslenkung gefragt ist \item $t$ Zeitpunkt bei dem die akt. Auslenkung gefragt ist \end{itemize} \item [Wellentypen]~ \begin{description} \item [Transversalwelle\index{Transversalwelle}]$\vec{y}\perp\vec{x}$ \begin{itemize} \item Auslenkung ist Senkrecht zur Ausbreitungsrichtung \item z.B. E-Feld, Seilwellen \end{itemize} \item [Longitudinalwelle\index{Longitudinalwelle}]$\vec{y}||\vec{x}$ \begin{itemize} \item Auslenkung ist in die gleiche Richtung wie die Ausbreitung \item z.B. Druckwellen (Schallwellen) \end{itemize} \end{description} \item [Konstanten]~ \begin{description} \item [Lichtgeschwindigkeit\index{Lichtgeschwindigkeit}]$c_{0}\approx2,9979\;10^{8}\frac{m}{s}$ \begin{itemize} \item im Vakuum \end{itemize} \item [Schallgeschwindigkeit\index{Schallgeschwindigkeit}]$c_{s}\approx331\frac{m}{s}$ \begin{itemize} \item in Luft bei $0°C$... \end{itemize} \end{description} \item [Brechungsindex\index{Brechungsindex}]$c=\frac{c_{0}}{n\left(\lambda_{0}\right)}$ \begin{itemize} \item $n$ ist der von $\lambda_{0}$ Abhängige Brechungsindex \end{itemize} \end{description} \subsubsection{elektromagnetische\index{elektromagnetische Welle}Welle} \begin{description} \item [Ausrichtung]$\vec{E}\perp\vec{B}$ \item [Zusammenhang]$H$=$\sqrt{\frac{\varepsilon_{0}}{\mu_{0}}}E$ \item [Lichtgeschwindigkeit]$c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}}$ \end{description} \subsection{Energietransport\index{Energietransport}} \begin{description} \item [Energiedichte\index{Energiedichte}]$\bar{W}$ \begin{description} \item [Schall\index{Schall}]$\bar{W}=\frac{1}{2}\left(\rho\omega^{2}\right)u_{0}^{2}$ \begin{itemize} \item $\rho$ Materialkonstante \item $u_{0}$ Amplitude \end{itemize} \item [elektromagnetische~Welle]$\bar{W}=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}E_{0}^{2}$ \end{description} \item [Intensität\index{Intensität}]$I=c\bar{W}$ \begin{description} \item [Schall\index{Schall}]$I=c_{schall}\frac{1}{2}\left(\rho\omega^{2}\right)u_{0}^{2}$ \item [elektromagnetische~Welle]$I=\frac{1}{2}H_{0}E_{0}$ \end{description} \item [Kugelwelle\index{Kugelwelle}]$I\left(r\right)=I\left(R\right)\frac{R^{2}}{r^{2}}$ \begin{itemize} \item Intensität (Energie) fällt mit $\frac{1}{r^{2}}$ \item Amplitude fällt mit $\frac{1}{r}$ \end{itemize} \item [Pointingvektor\index{Pointingvektor}]$\vec{S}=\frac{1}{2}\vec{E}_{0}\times\vec{H}_{0}$ \begin{itemize} \item Hier für el. magn. Feld \item gibt Richtung und Betrag des Energietransportes an \item $I=\left|\vec{S}\right|$ \end{itemize} \end{description} \subsection{Ebene Welle} \begin{description} \item [Schwingungsrichtung\index{Schwingungsrichtung}]$\vec{U}=\vec{U}_{0}\cos\left(\vec{k}\vec{x}-\omega t\right)$ \begin{itemize} \item $\vec{k}\vec{x}$ spannen eine Ebene auf, auf der die gleiche Schwingungsamplitude vorhanden ist \item feste Zeit: {}``Momentanaufnahme'' / Ortsverteilung ($\lambda$) der Welle \item fester Ort: lokale Schwingung ($\omega$ bzw $f$) \end{itemize} \item [Wellenvektor\index{Wellenvektor}]$\vec{k}$ \begin{itemize} \item transversalwelle\index{transversalwelle} $\vec{U},\vec{U}_{0}\perp\vec{k}$ \item longitudinalwelle\index{longitudinalwelle} $\vec{U},\vec{U}_{0}||\vec{k}$ \end{itemize} \end{description} \subsection{Stehende Welle\index{Stehende Welle}} \begin{description} \item [Wellengleichung]$y=y_{0}\underbrace{\cos\left(kx\right)}_{Form}\underbrace{\cos\left(\omega t\right)}_{Schwingung}$ \begin{itemize} \item entsteht durch Reflexion der Welle und anschließender Überlagerung \item Reflexion am offenen Ende: Kein Phasensprung / gerade Anzahl + $\frac{1}{2}$ von Bäuchen passen in den Resonanzbereich \begin{itemize} \item $\lambda=\frac{2L}{n}\quad n=1,2,3,\ldots$ \end{itemize} \item Reflexion am geschlossenen Ende: Mit Phasensprung / gerade Anzahl von Bäuchen passen in den Resonanzbereich \end{itemize} \item [Abstrahlungswinkel]Ist proportional zu Öffnungsdurchmesser dividiert durch die Wellenlänge \end{description} \subsection{Interferenz\index{Interferenz}} $U_{1}=U_{0}\cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}x\right)\quad U_{2}=U_{0}\cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}x-\Delta x\right)$ \begin{description} \item [Allgemein]$\left(U_{1}+U_{2}\right)=\underbrace{2U_{0}\cos\frac{\Delta\varphi}{2}}_{Amplitude\left(\Delta\varphi\right)}\underbrace{\cos\left(kx-\Delta\varphi\right)}_{verschobene\ Welle}$ \begin{itemize} \item $k=\frac{2\pi}{\lambda}\quad\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta x$ \item Überlagerung von 2 Wellen, Verstärkung und Auslöschung bilden im allgemeinen kompliziertes Muster. \item Speziell: gleiches $\lambda$, gleiches $f$ $\Rightarrow$ Verschiebung um $\Delta x$ \begin{itemize} \item $\Delta x=n\lambda\Rightarrow$ Verstärkung \item $\Delta x=\left(2n+1\right)\frac{\lambda}{2}\Rightarrow$ Auslöschung \end{itemize} \end{itemize} \item [Doppelquelle]Verstärkung für: $d\sin\gamma=n\lambda$ \begin{itemize} \item $d$ Abstand der Quellen \item $\gamma$ Ausfallwinkelwinkel aus der Doppelquelle relativ zu ihrer Mittellinie (geht senkrecht durch die Mitte der Verbindungsline der Quellen) \item $d>\lambda$ (aber nicht unbedingt viel) \end{itemize} \end{description} \subsection{Interferometer\index{Interferometer}} \begin{description} \item [Normales~Licht\index{Licht}]statistische Emission, viele Atome geben gleichmäßiges Mittel \item [Laser\index{Laser}]Emissionen aus Atomes synchronisiert: Licht blitze {}``kohärent\index{kohärent}'' \item [Michelson~Interferometer\index{Michelson Interferometer}]Ein Laserstrahl wird in zwei Hälften durch einen halbdurchlässigen Spiegel aufgeteilt (rechtwinklig zueinander) diese durchlaufen zwei verschiedene Wege, und werden wieder vereinigt (zur Interferenz gebracht). Hier kann man nun Änderungen / Unterschiede in den Längen in den beiden Wegen feststellen (sehr genau Messen). \end{description} \subsection{Doppler Effekt\index{Doppler Effekt}} \begin{description} \item [bewegter~Empfänger]$f=f_{0}\left(1\mp\frac{v}{c}\right)$ \begin{itemize} \item wenn $v\ll c$ \item Zunahme bei {}``aufeinander zu'' \item Abnahme bei {}``voneinander weg'' \end{itemize} \item [bewegter~Sender]$f\approx f_{0}\left(1\pm\frac{v}{c}\right)$ \begin{itemize} \item wenn $v\ll c$ \item Zunahme bei {}``aufeinander zu'' \item Abnahme bei {}``voneinander weg'' \end{itemize} \end{description} \subsubsection{Sternbewegung\index{Sternbewegung}} \begin{description} \item [Geschwindigkeit~Parallel]zur Erde kann gemessen werden, in dem die Verschiebung des Spektrums des Sternenlichts relativ zu einem Eichspektrum gemessen wird. \begin{description} \item [Blauverschiebung\index{Blauverschiebung}](zu kürzeren Wellenlängen hin) $\Rightarrow$ Bewegung auf uns zu \item [Rotverschiebung\index{Rotverschiebung}](zu längeren Wellenlängen hin) $\Rightarrow$ Bewegung von uns weg \end{description} \item [Hubble-Konstante\index{Hubble-Konstante}]$v=H_{0}r$ \end{description} \begin{itemize} \item $v$ Entfernungsgeschwindigkeit \item $r$ Entfernung \item Hubble (für Galaxien): Alle Galaxien bewegen sich von uns weg \item daraus: Urknall vor ca. 15 Milliarden Jahren \end{itemize} \subsection{Exkursion: Aufbau des Weltalls} \subsubsection{Parallaxe\index{Parallaxe}} Es wird der unterschiedliche Betrachtungswinkel eines Sterns von verschiedenen Standorten aus gemessen (Erde im Sommer / Winter). Angegeben wird der Winkel der {}``Betrachtungsstrahlen'' relativ zu deren Mittellinie. Fall $\gamma=1''\Rightarrow d=3,3$ Licht-Jahre\index{Licht-Jahr} (LJ\index{LJ}) $=1$Parsec\index{Parsec} (Paralaxesekunde\index{Paralaxesekunde}) ('' = Bogen Sekunde\index{Bogen-Sekunde}) Messgenauigkeit liegt bei ca. $0,01''=100$ Parsec \subsubsection{Milchstraße\index{Milchstraße}} \begin{description} \item [Anzahl~Sterne]$10^{11}$ \item [Durchmesser]$150.000LJ$ \item [Dicke]$15.000LJ$ \item [Anzahl~Galaxien\index{Galaxien}]ca.$\approx10^{11}$ \end{description} \subsection{Beugung\index{Beugung}} Beugung entspricht Interferenz an passiven {}``Quellen'' (Kanten, Öffnungen) \begin{description} \item [Huygens-Prinzip\index{Huygens-Prinzip}]jeder von einer Welle getroffene Punkt im Raum ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle \item [Auflösungsgrenze\index{Auflösungsgrenze}]$\varepsilon\geq\frac{0,6\lambda}{n\sin\alpha}\gtrapprox\frac{\lambda}{2}$ \begin{itemize} \item $\varepsilon$ kleinste beobachtbare Abstand \item $n$ Brechungsindex des Materials zwischen Objekt und Objektiv \item $n\sin\alpha$ numerische Aperatur\index{numerische Aperatur} (NA\index{NA}) \item $\alpha$ Halber Öffnungswinkel der ersten Linse relativ zu einem betrachteten Punkt. \item Dadurch: Mikroskope mit mehr als 2000x machen kaum Sinn (mit regulärer Optik) \end{itemize} \end{description} \subsubsection{Beugungsgitter\index{Beugungsgitter}} Gitter mit Streifen (undurchlässig) der Breite $d$ und sehr schmalen Zwischenräumen (durchlässig). \begin{itemize} \item Verstärkung bei $d\sin\vartheta=n\lambda$ \begin{itemize} \item $\vartheta$ Winkel der Strahlen relativ zur Gitter normalen \item $n$ Gitteröffnungen \end{itemize} \item Hauptmaxima haben $n-te$ Ordnung, wobei die Mitte die $0$-te Ordnung hat. \item Intensität ist $\approx N^{2}$ \item Breite der Maxima $\approx\frac{1}{N}$ \end{itemize} \section{Wellen\index{Wellen} und Quanten\index{Quanten}} \subsection{Thermische\index{Thermische Strahlung} Strahlung\index{Strahlung}} \begin{description} \item [Konstanten]~ \begin{description} \item [Plank~Konstante\index{Plank Konstante}]$h=6,63*10^{-34}Js$ \item [Plank~Konstante\index{Plank Konstante}~H-Quer\index{H-Quer}]$\hbar=\frac{h}{2\pi}=1,054*10^{-34}Js$ \item [Bolzmann~Konstante]$k_{B}=1,38*10^{-23}\frac{J}{K}$ \item [Stefan-Bolzmann-Konstante\index{Stefan-Bolzmann-Konstante}]$\sigma=5,67*10^{-8}\frac{W}{m^{2}K^{4}}$ \end{description} \item [Strahlungsleistung\index{Strahlungsleistung}]$\Delta S=I_{\lambda}d\lambda=\frac{2\pi c^{2}h}{\lambda^{5}}\:\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_{B}T}}-1}$ \begin{itemize} \item $\left[\Delta S\right]=\frac{W}{m^{2}}$ \item Strahlungsleistung in kleinem Frequenzbereich \item Formel nur für den Hohlraumstrahlung\index{Hohlraumstrahlung} (Schwarze Strahlung\index{Hohlraum Strahlung}, Planksche Strahlung\index{Planksche Strahlung}) korrekt, reale Strahlung liegt darunter. \end{itemize} \item [Spektrale~Strahlungsdichte\index{Spektrale Strahlungsdichte}]$\Delta S=I_{\lambda}\Delta\lambda$ \item [Intensitätsverteilung\index{Intensitätsverteilung}]$I_{\lambda}\;\left[I_{\lambda}\right]=\frac{W}{m^{3}}$ \item [Wiensches~Verschiebungsgesetz\index{Wiensches Verschiebungsgesetz}]$\lambda_{max}T=2,9*10^{-3}mK$ \begin{itemize} \item Maximum der Strahlungsintensität bei gegebener Temperatur \end{itemize} \item [Kirchhoff]Emission\index{Emission}$\left(\lambda\right)$ $\sim$ Absorption\index{Absorption}$\left(\lambda\right)$ \item [Energie-Quant\index{Energie-Quant}]$E=\frac{hc}{\lambda}=hf=\hbar\omega$ \begin{itemize} \item Energie eines Photons mit entsprechender Wellenlänge \end{itemize} \item [Strahlung\index{Strahlung}]$S=\epsilon\sigma T^{4}\;\left[S\right]=\frac{W}{m^{2}}$ \begin{itemize} \item pro strahlender Fläche \item $\epsilon$ Emissionsvermögen \begin{itemize} \item $\epsilon=1$ idealer Strahler \item $0\leq\epsilon<1$ realer Strahler \end{itemize} \end{itemize} \item [Leistung\index{Leistung}]$P=AS=A\epsilon\sigma T^{4}\;\left[P\right]=W$ \begin{itemize} \item insgesamt Leistung \end{itemize} \item [schwarze~Temperatur\index{Temperatur}]idealer Strahler mit gleicher Ausstrahlung (gesamt) wie realer Strahler $T_{schw}