Vektorielle Bewegung

Bewegungsgleichung

$$\vec{a}(t)=\dot{\vec{v}}(t)=\ddot{\vec{x}}(t)=\left(\begin{array}... ...ray}{c} \ddot{s}_{x}(t)\\ \ddot{s}_{y}(t)\\ \ddot{s}_{z}(t)\end{array}\right)$$

• $\vec{x}$ Ortsvektor, $\vec{v}$ Geschwindigkeitsvektor, $\vec{a}$ Beschleunigungsvektor
• Alle Bewegungsgleichungen gelten auch vektoriell
• Bahnkurve ohne Parameter $t$ durch Eliminierung von $t$

Kreisbewegung

 

Ortsvektor

$\vec{x}=\left(\begin{array}{c} x(t)\\ y(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} r\sin\alpha\\ r\cos\alpha\end{array}\right)$

Geschwindigkeit

$\vec{v}=\omega\left(\begin{array}{c} -y(t)\\ x(t)\end{array}\right)=\omega\left(\begin{array}{c} -r\cos\alpha\\ r\sin\alpha\end{array}\right)$

• Richtung ist Tangente am Kreis

Beschleunigung

$\vec{a}=-\omega^{2}\left(\begin{array}{c} x(t)\\ y(t)\end{array}\right)=-\omega^{2}\vec{x}$

• $\vec{a}\times\vec{s}=0$ Beschleunigung auf Mittelpunkt gerichtet, bzw. antiparallel zum Ortsvektor
• $\vec{a}\perp\vec{v}=0$ Beschleunigung ist senkrecht zur Geschwindigkeit