Planeten- und Sattelitenbahnen

Zentripetalkraft

$F_{z}=-\frac{mv^{2}}{r}$

• Zum Kreismittelpunkt gerichtet (dann Positiv)

Kreisbahn Geschwindigkeit

$v_{kreisbahn}=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

• z.B. Erdnahe Bahn $v\approx7,9\frac{km}{s}$

Umlaufdauer

$T=\frac{2\pi r}{v_{k}}=2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$

Potentielle Bahnenergie

$E_{p}=-G\frac{Mm}{r}$

• nur potentielle, ohne Bewegung in der Bahn (kinetisch)!!!

Gesamt Bahnenergie

$E=E_{P}+E_{kin}=\frac{E_{P}}{2}=-G\frac{Mm}{2r}$

Maximale Reichweite

$r_{max}=\frac{2GMR}{2GM-v_{max}^{2}R}$

• $R$ Startradius
• wenn $v_{max}<v_{Flucht}$!!!

Fluchtgeschwindigkeit

$v_{F}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

• $R$ Startradius
• $M$ Masse des Planeten
• $v_{F}=\sqrt{2}\, v_{K0}$ Zusammenhang zur Oberflächen nahen Bahn
• Bei Erde $v_{F}=11,2\frac{km}{s}$
• unabhängig von Abschussrichtung
• $v_{0}<v_{F}$ Kreis oder Elipsenbahn
• $v_{0}=v_{F}$ Grenzfall Hyperbelbahn ( $\lim_{r\rightarrow\infty}v=0$)
• $v_{0}>v_{F}$ Hyperbelbahn (Energie Überschuss)

Kreisbahn

$E_{Kreis}=\frac{1}{2}\left\vert E_{pot}\right\vert$