Grundlagen I.153

Alle verkoriellen Gleichungen lassen sich skalar lösen, wenn man sie längs einer Feldline betrachtet!

E-Feld

$\vec{E}=-\mathrm{grad}\phi=-\left(\vec{e}_{x}\frac{\partial\phi}{\partial x}+\... ...rac{\partial\phi}{\partial y}+\vec{e}_{z}\frac{\partial\phi}{\partial z}\right)$

• Resultierendes Feld (vektorielle Überlagerung der Einzelfelder)
  $\vec{E}=\sum_{k=1}^{n}\vec{E}_{k}$
• entlang Feldlinie
  $E=\frac{d\phi}{dx}$

Kräfte im E-Feld

$\vec{F}=q\vec{E}$

• Kraft die auf die Probeladung $g$ im E-Feld wirkt
• Lassen sich (vektoriell) Übelagern
  $\vec{F}=\sum_{k=1}^{n}\vec{F}_{k}$

Verschiebungsdichte

$\vec{D}=\varepsilon\vec{E}$

• Elektrisches Feld unabhängig vom Dielektrikum

Dieelektrizitätskonstante

$\varepsilon=\varepsilon_{m}\varepsilon_{0}$

• materialabhängige Konstante
• $\varepsilon_{0}=8,8542\cdot10^{-12}\frac{As}{Vm}$ Dieelektrizitätskonstante (im Vakuum / ähnlich Luft)

Feldlinien

$+\rightarrow-$

• Richtung: von positiven Ladungen zu negativen (theoretische Bewegungsrichtung von Positiven Ladungsträgern / technische Stromrichtung)
• Abstand: je dichter, je stärker das Feld
• Richtung: Kraftrichtung auf eine Positive Ladung
• Parallel: Homogenes Feld
• E-Feld ist Wirbelfrei / Quellenfeld
  $\oint\vec{E}d\vec{s}=0$ (Potential auf Umlauf 0, 1. Kirchhoff)
• Treten Senkrecht aus Leiteroberflächen aus

Potentialfunktion

$\phi\left(A\right)=-\int_{0}^{A}\vec{E}\ d\vec{s}=-U_{0A}$

• Bei der Potentialfunktion muss ein passender Bezugspunkt gewählt werden, hier 0. Allgemein irgendein markanter Punkt in der Aufgabenstellung. Kürzt sich bei der Differenz zweier Potentiale ohnehin heraus.
• $\oint_{L}\vec{E}d\vec{s}=0$
  Potentialfunktion ist Wegunabhängig - Konservatives Feld
  (1. Kirchhoff)
• Gesamtpotential ist Überlagerung der Einezelpotentiale
  $\phi=\sum_{k=1}^{n}\phi_{k}$
• Aufteilung der Spannungen
  $U=U_{0}\frac{y}{d}$
  • $d$ Länger der Feldlinie
  • $U_{0}$ Spannung über der gesamten Feldlinie
  • $y$ Entfernung auf Feldlinie vom Ausgangspunkt

Äqui-Potential-Fläche

$U=$konstant; $E_{p}=$konstant

• ähnlich wie Höhenlinien bei Bergen
• Äqui-Potential-Fläche $\perp\vec{E}$-Feld (Feldlinien)
• Feldlinien Treten senkrecht aus jeder Leiteroberfläche aus, da Leiteroberflächen Äqui-Potential-Flächen bilden

Elektrischer Fluss

$\psi_{e}=\int_{A}\vec{D}\ d\vec{A}$

• $\vec{A}$ Vektor der Senkrecht auf der Hüllfläche steht
• gilt nur bei nicht geschlossener Hüllfläche

Gauß'scher Satz der Elektrostatik

$Q=\oint_{A}\vec{D}\ d\vec{A}$

• Auch $Q=AD$ wenn A zu allen Feldlinien Rechtwinklig
• Ladungungsmenge die in der umschlossenen Hüllfläche liegt
• Wenn eine Hüllfläche bekannt ist, die senkrecht von den Feldlinien durchdrungen wird, lässt sich so die Verschiebungsdichte, bzw. die Ladung bestimmen

Kapazität

$Q=C\cdot U$

• $C=\frac{Q}{\phi_{+}-\phi_{-}}\qquad C'=\frac{\lambda}{\phi_{+}-\phi_{-}}$
  • $\phi_{+}$ Potential an positiver Elektrode (mit $Q$ als Ladung)
  • $\phi_{-}$ Potential an negativer Elektrode (mit $-Q$ als Ladung)
• $C'$ Kapazität pro Länge (z.B. bei Leitungskapazitäten)