Die Komplexen Zahlen $\mathbb{C}$

Wir konstruieren den Körper $\mathbb{C}$ der komplexen Zahlen wie folgt:

$$\mathbb{C}=\left\{ \left(x,y\right)\vert x,y\in\mathbb{R}\right\}$$

Wir stellen uns eine komplexe Zahl $z=\left(x,y\right)$ als Punkt in der Ebene vor. Wir definieren Verknüpfungen $+$ und $*$ auf $\mathbb{C}$ wie folgt:

1. Addition
   $$\left(x_{1},y_{1}\right)+\left(x_{2},y_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}\right)$$

2. Multiplikation
   $$\left(x_{1},y_{1}\right)*\left(x_{2},y_{2}\right)=\left(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\right)$$

• Einselement $\left(1,0\right)$
• Nullelement $\left(0,0\right)$
• Inverses Element zu $\left(x,y\right)$
  $\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}},\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\right)$
  $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{\left\vert z\right\vert^{2}}$
• Identifiziere Teilmenge $\left\{ \left(x,0\right)\vert x\in\mathbb{R}\right\} \subset\mathbb{C}$ mit $\mathbb{R}$
• schreibe $i=\left(0,1\right)$
• $i^{2}=-1$
• schreibe statt $z=\left(x,y\right)$ nun $z=x+iy$
  • hiermit lassen sich die Rechenregeln leichter merken
• Realteil
  $\Re\left(x+iy\right)=\textrm{Re}\left(x+iy\right)=x$
• Imaginärteil
  $\Im\left(x+iy\right)=\textrm{Im}\left(x+iy\right)=y$
• Komplex konjungiert
  wenn $z=x+iy$ dann $\bar{z}=x-iy$
  • $\bar{\bar{z}}=z$
  • $\bar{z}=z\Leftrightarrow y=0\Leftrightarrow z\in\mathbb{R}$
  • $z*\bar{z}=x^{2}+y^{2}\geq0$
• Betrag oder Norm von einer komplexen Zahl
  $\left\vert z\right\vert=\sqrt{z*\bar{z}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$