Konstruktion von $\mathbb{Z}$ aus $\mathbb{N}$

Ganz ähnlich wie die Konstruktion von $\mathbb{Q}$ aus $\mathbb{Z}$ durch Äquivalenzklassen von Paaren. Setze $Y=\left\{ \left(m,n\right)\vert m,n\in\mathbb{N}\right\}$. Das Paar $\left(m,n\right)$ soll die ganze Zahl ``$m-n$'' kodieren. Wir nennen zwei Paare $\left(m,n\right)$ und $\left(m',n'\right)$ äquivalent ($\sim$), falls $m+n'=m'+n$. Die entsprechenden Äquivalenzklassen von Paaren sind die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}=\mathbb{N}^{2}/\sim$. Schreibe $m-n$ für die durch $\left(m,n\right)$ kodierte Zahl. Es gelten folgende Rechenregeln:

1. Addition
   $${\scriptstyle \left(m_{1}-n_{1}\right)+\left(m_{2}-n_{2}\right)=\left(m_{1}+m_{2}\right)-\left(n_{1}+n_{2}\right)}$$

2. Multiplikation
   $${\scriptstyle \left(m_{1}-n_{1}\right)*\left(m_{2}-n_{2}\right)=\left(m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}\right)-\left(m_{1}n_{2}+m_{2}n_{1}\right)}$$