Nicht Inertialsysteme

Transformation von Bezugssystemen

Sachverhalt

Sei ein Punkt bezüglich dem System $K$ mit dem Vektor $\vec{x}=\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)$ und bezüglich dem System $K'$ mit dem Vektor $\vec{x}'=\left(x_{1}',x_{2}',x_{3}'\right)$ gegeben.

Abstandserhaltend

ist eine Abbildung dann, wenn für zwei Punkte in beiden Systemen der gleiche Abstand gilt, also

$$d=\left\vert\vec{x}-\vec{\tilde{x}}\right\vert=\left\vert\vec{x}'-\vec{\tilde{x}}'\right\vert$$

• Eine Transformation zwischen Bezugssystemen muss Abstandserhalten geschehen

Transformation des Ortsvektors

$$\vec{x} = A\vec{x}'+\vec{a}$$

$$\vec{x}' = A'\vec{x}+\vec{a}'$$

• $A$ und $A'$ sind reelle orthoginale $3\times3-$Matrizen. Das heißt es gilt: $A^{-1}=A^{T}$
• $A'=A^{T}$
• $\vec{a}'=-A^{T}\vec{a}$
• $\vec{a}$ bzw. $\vec{a}'$ sind die Abstände der Koordinatenursprünge
• Es sind in der Summe $6$ Parameter die die Transformation bestimmen. $3$ Winkel und $3$ stück für den Offset Vektor.

Transformation der Zeitableitung

$$\frac{d}{dt}=\frac{d'}{dt'}+\vec{\omega}'\times$$

Transformation der Geschwindigkeit

$$\vec{v}=\vec{v}'+\dot{\vec{R}}+\vec{\omega}'\times\vec{x}'$$

• die Strichgrössen $\left(v',x'\right)$ sind in den Koordinaten des urspünglichen Systems einzugeben

Transformation der Beschleunigung / Kraft

$$\vec{a}=\ddot{\vec{R}}+\dot{\vec{\omega}}\times\vec{x}'+\vec{\ome... ...{\omega}\times\vec{x}'\right)+2\left(\vec{\omega}\times\vec{v}'\right)+\vec{a}'$$

$$m\vec{a}'=\vec{F}'=\vec{F}+m\left(\vec{a}'-\vec{a}\right)=\vec{F}+\vec{F}_{s}$$

Scheinkräfte

$$\vec{F_{s}}=\vec{F}_{col}+\vec{F}_{zen}+\vec{F}_{1}+\vec{F}_{tr}$$

Translative Kraft

$\vec{F}_{tr}=-m\ddot{\vec{R}}=m\ddot{\vec{R}}'$

Zentrifugalkraft

$\vec{F}_{zen}=-m\vec{\omega}\times\left(\vec{\omega}\times\vec{x}'\right)$

Coreoliskraft

$\vec{F}_{col}=-2m\vec{\omega}\times\vec{v}'$

Namenslos

$\vec{F}_{1}=-m\dot{\vec{\omega}}\times\vec{x}'$

Drehungen

Drehmatrix

$\mathcal{D}\left(\psi,\theta,\varphi\right)=\mathcal{D}_{3}\left(\varphi\right)\cdot\mathcal{D}_{1}\left(\theta\right)\cdot\mathcal{D}_{3}\left(\psi\right)$

Figure 1: Komplette Drehmatrize

• Gesamtmatix siehe Abbildung cap:Komplette-Drehmatrize.
• Drehung um die $1$-Achse mit dem Winkel $\theta$
  $\mathcal{D}_{1}\left(\theta\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta\end{array}\right)$
• Drehung um die $3$-Achse mit dem Winkel $\varphi$
  $\mathcal{D}_{3}\left(\varphi\right)=\left(\begin{array}{ccc} \cos\varphi & -\sin\varphi & 0\\ \sin\varphi & \cos\varphi & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
• Dies mit den $3$ Parametern lassen sich alle möglichen Drehungen im $\mathbb{R}^{3}$ beschreiben.
• Dies sind die eulerschen Winkel
• Drehmatizen sind identisch mit Orthogonalmatizen. Charakteristika:
  • $A^{-1}=A^{T}$
  • $\det A=1$
• $\mathcal{D}_{i}\left(x\right)\mathcal{D}_{i}\left(y\right)=\mathcal{D}_{i}\left(y\right)\mathcal{D}_{i}\left(x\right)$
• $\mathcal{D}_{i}\left(x\right)$ bilden eine kommutative Gruppe
• Diese Matrizen sind abstandserhaltend
  $\left\langle a,b\right\rangle =\left\langle Aa,Ab\right\rangle$

Intifesimale Drehungen

Drehmatrix

$$A\left(\Delta\psi,\Delta\theta,\Delta\varphi\right)=$$

$$\left(\begin{array}{ccc} 1 & -\Delta\varphi-\Delta\psi & 0\\ \De... ...varphi+\Delta\psi & 1 & -\Delta\theta\\ 0 & \Delta\theta & 1\end{array}\right)$$

$$\Delta A = \left(\begin{array}{ccc} 0 & -\Delta\varphi-\Delta\psi & 0\\ \De... ...varphi+\Delta\psi & 0 & -\Delta\theta\\ 0 & \Delta\theta & 0\end{array}\right)$$

$$\Delta A = -\Delta A^{T}$$

Drehvektor

Eine Drehung des Vektors $\Delta\vec{a}$ um den Winkel $\alpha$ um die Achse $\vec{\alpha}$ lässt sich durch das Kreuzprodukt $\Delta\vec{a}\times\vec{\alpha}$ beschreiben

$$\Delta\vec{\alpha} = \left(\begin{array}{c} \Delta\theta\\ 0\\ \Delta\varphi+\Delta\psi\end{array}\right)$$

$$\vec{\omega} = \left(\begin{array}{c} \dot{\theta}\\ 0\\ \dot{\varphi}+\dot{\psi}\end{array}\right)$$

$$\Delta\vec{a} = \Delta A\vec{a}$$

$$= \left(\begin{array}{c} -a_{2}\left(\Delta\varphi+\Delta\psi\right... ...rphi+\Delta\psi\right)-a_{3}\Delta\theta\\ a_{2}\Delta\theta\end{array}\right)$$

$$= \Delta\vec{\alpha}\times\vec{a}$$

$$= \Delta\vec{\alpha}\times\vec{\alpha}_{\perp}$$

• $\vec{a}=\vec{a}_{\vert\vert}+\vec{a}_{\perp}$ bezogen auf $\Delta\vec{\alpha}$
• $\vec{a}_{\vert\vert}=\frac{\left(\vec{a}\cdot\Delta\vec{\alpha}\right)\Delta\vec{\alpha}}{\left\vert\Delta\vec{\alpha}\right\vert^{2}}$
• $\Delta\vec{\alpha}\vec{a}_{\vert\vert}=0$
• Drehvektor $\Delta\vec{\alpha}=\Delta\gamma\vec{e}_{\Delta\alpha}$
  • $\Delta\gamma=\left\vert\Delta\vec{\alpha}\right\vert=\sqrt{\left(\Delta\theta\right)^{2}+\left(\Delta\psi+\Delta\varphi\right)^{2}}$