Magnetostatik

Stromdichte

$\vec{j}=\frac{\textrm{Strom}}{\textrm{Fläche}}=\varrho\left(\vec{x},t\right)\vec{v}\left(\vec{x},t\right)$

• $\varrho$ ist die Ladungsdichte
• $\vec{v}$ ist die Driftgeschwindigkeit der Elektronen

Ladungserhaltung

$\frac{\partial\varrho}{\partial t}+\vec{\nabla}\vec{j}=0$

Magnetostatik

$\frac{\partial\varrho}{\partial t}=0$

• $\vec{\nabla}\vec{j}=0$

Knotenregel

$0=\int_{V}d^{3}x \vec{\nabla}\vec{j}=\oint_{\partial V}d\vec{f}\cdot\vec{j}$

Konstanten

$\varepsilon_{0}\mu_{0}c^{2}=1$

Biot-Savart

$d\vec{B}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_{0}}{4\pi}Id\vec{x}'\times\frac{\vec{x}-\vec{x}'}{\left\vert\vec{x}-\vec{x}'\right\vert^{3}}$

$$\vec{B}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int_{V}d^{3}x' ... ...\right)\times\frac{\vec{x}-\vec{x}'}{\left\vert\vec{x}-\vec{x}'\right\vert^{3}}$$

• Unendlich langer Draht auf $z$-Achse
  $$\vec{B}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_{0}I}{2\pi\rho}\vec{e}_{\varphi}$$
  mit $\rho$ Anstand von der $z$ Achse

Verallgemeinerung

$I d\vec{x}=\vec{j}\left(\vec{x}\right) d^{3}x$

Kraft

auf Strom

$$d\vec{F} = Id\vec{x}\times\vec{B}\left(\vec{x}\right)$$

$$\vec{F} = \int_{V}d^{3}x \vec{j}\left(\vec{x}\right)\times\vec{B}\left(\vec{x}\right)$$

• Kraft von einem Leiter auf einen anderen, wenn einer der Leiter geschlossen ist.
  $$\vec{F}_{12}=-\frac{\mu_{0}}{4\pi}I_{1}I_{2}\oint_{C_{1}}d\vec{x}... ...frac{\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}}{\left\vert\vec{x}_{1}-\vec{x}_{2}\right\vert^{3}}$$

• mit $\vec{j}\left(\vec{x}\right)=q\vec{v}\delta\left(\vec{x}-\vec{x}_{0}\right)$ folgt die Lorentz-Kraft
  $$\vec{F}\left(\vec{x}\right)=q\vec{v}\times\vec{B}\left(\vec{x}\right)$$

Vektorpotential

$$\vec{A}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\int d^{3}x'\frac{\vec{j}\left(\vec{x}'\right)}{\left\vert\vec{x}-\vec{x}'\right\vert}$$

• Hiermit lässt sich das $\vec{B}$-Feld auch schreiben als
  $$\vec{B}\left(\vec{x}\right)=\vec{\nabla}\times\vec{A}\left(\vec{x}\right)$$

• analog zum Potential in der Elektrostatik

Grundgleichung der Magnetostatik

$$\triangle_{x}\vec{A}\left(\vec{x}\right)=-\mu_{0}\vec{j}\left(\vec{x}\right)$$

• gilt nur für Räumlich beschränkte Ladungsverteilung
• dies sind 3 poisson DGL's, für jede Raumkoordinate eine

Maxwell'sche

Gleichungen in Differentialform im Vakuum

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{E} = -\frac{\varrho}{\varepsilon_{0}}$$

$$\vec{\nabla}\times\vec{E} =$$ 0

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{B} =$$ 0

$$\vec{\nabla}\times\vec{B} = \mu_{0}\vec{j}$$

• $\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0$ bedeutet das es keine magnetischen Ladungen gibt

Eichung

$\vec{A}$ nicht Eindeutig durch $\vec{B}=\vec{\nabla}\times\vec{A}$ bestimmt

$$\vec{A}'=\vec{A}+\vec{\nabla}\psi$$

ist ebenfalls eine Lösung. Diese Transformation nennt sich Eichtransformation.

• Coulomb-Eichung: $\triangle\psi=0$
  • insbesondere $\psi=0$

magnetisches Moment

$\vec{m}=\frac{1}{2}\int_{V}d^{3}x \vec{x}\times\vec{j}$

$$\vec{A} \approx \frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{\vec{m}\times\vec{x}}{r^{3}}$$

$$\vec{B}\left(\vec{x}\right) \approx \frac{\mu_{0}}{4\pi}\left(\frac{3\left(\vec{m}\vec{x}\right)\vec{x}}{r^{5}}-\frac{\vec{m}}{r^{3}}\right)$$

• Näherung gilt für $\vec{x}$ mit $\left\vert\vec{x}\right\vert\gg R$ mit der Ausdehnung der Stromverteilung $R$
• $\vec{m}$ ist zweiter Koeffizient der Taylornäherung von $\vec{A}$
• Gleichung gilt mit der Eichung $\psi=0$