Funktionenräume

Vektoren

$\left\vert\alpha\right\rangle$ entspricht einer Funktionen $\alpha\left(x\right)$. Diese Funktionen bilden einen $\mathbb{C}$ Vektorraum.

Lineare Abbildungen

Sind lineare Operatoren $\hat{X}$. Diese sind im endlichdimensionalen mit Matrizen vergleichbar

• Bsp: $\hat{\frac{d}{dx}}$ in Polynomen vom Grad $N$, $\hat{x}$ im formaten Potenzreihen

Eigenfunktion

$\hat{T}\left\vert\alpha\right\rangle =\lambda\left\vert\alpha\right\rangle$ $\alpha$ heißt Eigenfunktion zum Eigenwert $\lambda$ von $\hat{T}$

Skalarprodukt

$\left\langle \alpha\vert\beta\right\rangle =\int\alpha^{*}\left(x\right)\beta\left(x\right)$dx

• Die Grenzen müssen Passend zu Problem definiert werden
• Funktionen müssen Quadratintegrable sein $\Leftrightarrow\left\langle \alpha\vert\beta\right\rangle <\infty$

hermitesche Operatoren

$\left\langle \alpha\vert\hat{T}\beta\right\rangle =\left\langle \hat{T}\alpha\vert\beta\right\rangle$ für alle $\left\vert\alpha\right\rangle ,\left\vert\beta\right\rangle$

• $\hat{\frac{\hbar}{i}\frac{d}{dx}}$ ist hermitesch, falls
  • $\alpha\left(a\right)=\alpha\left(b\right)$ für alle $\left\vert\alpha\right\rangle$ ($a,b$ sind Integrationsgrenzen)
  • oder bei quadrat-integrable Funktionen in $\left[-\infty,\infty\right]$

  Eigenschaften

  einer hermiteschen Operation $\hat{T}^{\dagger}=\hat{T}$

  • Alle Eigenwerte sind reel
  • Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind orthogonal
  • Für endlich dimensionale Vektorräume spannen die Eigenvektoren den ganzen Raum auf
  • $\left\langle \hat{T}\right\rangle =\sum_{i}\left\vert c_{i}\right\vert^{2}\lambda_{i}$ Erwartungswert der Messung
  • Eigenwerte von $\hat{T}=$Mögliche Messwerte jeweils mit Wahrscheinlichkeit $\left\vert\left\langle \textrm{Eigenvektor}_{i}\vert\psi\right\rangle \right\vert^{2}$

Hilbertraum

In der QM sind wir an Fkt. interressiert, die quadrat-integrabel sind

$$\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^{*}\left(x\right)\Psi\left(x\right)dx<\infty$$

Der Raum der von solchen Funktionen aufgespannt wird, wird mit

$$L_{2}\left(-\infty,\infty\right)$$

bezeichnet.

Ein Vektorraum $H$ mit einem inneren Produckt, $\left\langle \cdot\vert\cdot\right\rangle$ heißt Hilbertraum, falls alle Konvergenten Reihen in $H$ gegen einen Vektor in $H$ konvergieren (Vollständig).

Verallgemeinerte statistische Interpretation

1. Ein Teilchen wird repräsentiert durch eine Wellenfunktion $\Psi\left(x,t\right)$
2. $\left\vert\Psi\left(x,t\right)\right\vert^{2}dx$ ist die Warscheinlichkeit, das Teilchen im Intervall $\left[x,x+dx\right]$ zur Zeit $t$ zu finden
3. Die Normierung muss erfüllt sein: $\int_{-\infty}^{\infty}\left\vert\Psi\left(x,t\right)\right\vert^{2}dx$

Dann haben wir $\Psi\left(x,t\right)\in L_{2}\left(-\infty,\infty\right)$ mit dem inneren Produkt $\left\langle \alpha\vert\beta\right\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}\alpha^{*}\beta\: dx$

1. Wir Identifizieren ein Teilchen mit einem Vektor in $L_{2}$ und bezeichnen es als $\left\vert\Psi\right\rangle$. Die Normierung fordert $\left\langle \Psi\vert\Psi\right\rangle =1$
2. Meßgrößen sind hermitesche Operatoren $\hat{Q}$. Der Erwartungswert von $\hat{Q}$ ist
   $$\left\langle \hat{Q}\right\rangle =\left\langle \Psi\vert\hat{Q}\Psi\right\rangle$$

3. Messungen von Observablen liefern die Eigenwerte (reellen) von $\hat{Q}$ und zwingen das System einen Eigenzustand anzunehmen
4. Die Varianz der Messung ist $\sigma_{\hat{Q}}^{2}=\left\langle \left(\hat{Q}-\left\langle \hat{Q}\right\rangle \right)^{2}\right\rangle =0$ genau dann , wenn sich das System in einem Eigenzustand von $\hat{Q}$ befindet.

Vorgehen

1. $\hat{Q}\left\vert\psi_{\lambda}\right\rangle =\lambda\left\vert\psi_{\lambda}\right\rangle$ bestimmen des Eigenspektrum (Menge der Eigenwerte) mit den zugehörigen Eigenvektoren
2. Bilden einer Orthonormalbasis aus den $\left\vert\psi_{\lambda}\right\rangle$
3. Ein belibiger Zustand ist aus aus Basis linear kombinierbar $\left\vert\psi\right\rangle =\sum_{\lambda}a_{\lambda}\left\vert\psi_{\lambda}\right\rangle$, $\left\vert a_{\lambda}\right\vert^{2}$ ist die Wahrscheinlichkeit $\lambda$ bei einer Messung von $\hat{Q}$ in $\left\vert\psi\right\rangle$ zu finden.

Projektor / Basiswechsel

Einsoperator

$1=\sum_{n}\left\vert e_{n}\right\rangle \left\langle e_{n}\right\vert$

• Falls $\left\{ \left\vert e_{n}\right\rangle \right\}$ eine Vollständige, orthonormierte Basis bilden

Projektor

ist ein Operator, für den gilt $P\left\vert\beta\right\rangle =P^{2}\left\vert\beta\right\rangle$

• Eigenwerte $0,1$

Zerlegung

$\hat{Q}=\sum_{n}\lambda_{n}\left\vert e_{n}\right\rangle \left\langle e_{n}\right\vert$

• Jeder hermitesche Operator lässt sich auf ``Diagonalgestalt'' bringen

diskretes Spektrum

Vollständigkeit

$\left\vert\psi\right\rangle =\sum_{n}c_{n}\left\vert e_{n}\right\rangle$

$$\left\langle e_{k}\vert\psi\right\rangle =c_{k}$$

Wahrscheinlichkeit

dass $\lambda_{n}$ Auftritt

$$\left\vert c_{n}\right\vert^{2}=\left\vert\left\langle e_{n}\vert\psi\right\rangle \right\vert^{2}$$

kontinuierliches Spektrum

Eigenzustände

$e_{x'}=\delta\left(x-x'\right)$

$$\left\vert\Psi\right\rangle =\int_{-\infty}^{\infty}dk c_{k} \left\vert e_{k}\right\rangle$$

Eigenwertgleichung

$\hat{Q}\left\vert e_{n}\right\rangle =\lambda_{n}\left\vert e_{n}\right\rangle$ mit $n$ kontinuierlich und $-\infty\le\lambda_{n}\le\infty$

Othogonale Basis

$\left\langle e_{n}\vert e_{k}\right\rangle =\delta\left(n-k\right)$

• $\left\langle x\vert\psi\right\rangle =\psi\left(x\right)=\left\langle \psi\vert x\right\rangle ^{*}$
• $\left\langle p\vert\psi\right\rangle =\psi\left(p\right)=\left\langle \psi\vert p\right\rangle ^{*}$

Vollständigkeit

$1=\int_{-\infty}^{\infty}dk\left\vert e_{k}\right\rangle \left\langle e_{k}\right\vert$

Wahrscheinlichkeitsdichte

$\left\vert c_{k}\right\vert^{2}dk=\left\vert\left\langle e_{k}\vert\psi\right\rangle \right\vert^{2}dk$

Fourier Transformation

$$\Psi_{p}\left(x\right) \equiv \left\langle x\vert p\right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{i}{\hbar}px}$$

$$\Psi_{x}\left(p\right) \equiv \left\langle p\vert x\right\rangle$$

$$= \left\langle x\vert p\right\rangle ^{*}$$

$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{i}{\hbar}px}$$

damit gilt

$$\Psi\left(x\right) = \int_{-\infty}^{\infty}dp \Psi_{p}\left(x\right)\Psi\left(p\right)$$

$$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dp e^{\frac{i}{\hbar}px}\Psi\left(p\right)$$

$$\Psi\left(p\right) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}dx e^{-\frac{i}{\hbar}px}\Psi\left(x\right)$$

Mittelwerte

von Kontinuierlichen Spektren

$$\left\langle Q\left(x,p,t\right)\right\rangle =\begin{cases} {\sc... ...dp},p,t\right)\Psi dp} & {\scriptscriptstyle \textrm{im Impulsraum}}\end{cases}$$

Heisenberg's Unschärfe

$$\sigma_{\hat{A}}^{2}\sigma_{\hat{B}}^{2}\ge\left(\frac{1}{2i}\left\langle \left[\hat{A},\hat{B}\right]\right\rangle \right)^{2}$$

• Mit $\hat{A}=\hat{x}$ und $\hat{B}=\hat{p}$ folgt die Heisenbergsche Unschärfe
• Falls die beiden Observablen $\hat{A}$ und $\hat{B}$ vertauschen ( $\left[\hat{A},\hat{B}\right]=0$) und Hermitesch sind, gibt es eine Basis in der $\hat{A}$ und $\hat{B}$ gleichzeitig diagonal werden (scharf gemessen werden können).
• Wenn $\left[\hat{A},\hat{B}\right]\neq0$ dann existiert keine Basis in der $\hat{A}$ und $\hat{B}$ gleichzeitig diagonal werden
• Bei einer Transformation $S$ die $H$ invariant läßt
  $$S^{-1}HS=H$$
  (entspr. $\left[H,S\right]=0$). Ist $\left\vert n\right\rangle$ ist Eigenzustand von $H$ mit Eigenwert $E_{n}$, dann ist auch $S\left\vert n\right\rangle$ Eigenzustand von $H$ mit gleichen Eigenwert $E_{n}$.
  • entweder $\left\vert n\right\rangle$ und $S\left\vert n\right\rangle$ sind die gleichen Zustände oder das Spektrum von $H$ ist entartet.

Energie-Zeit Unschärfe

$$\Delta t\cdot\Delta E\ge\frac{\hbar}{2}$$

• nicht vom gleichen Typ wie $x,p$ Unschärfe, weil $t$ keine Observable ist.

Zeitverhalten von Observablen

$$\frac{d}{dt}\left\langle \hat{Q}\right\rangle =\frac{i}{\hbar}\le... ...ht]\right\rangle +\left\langle \frac{\partial\hat{Q}}{\partial t}\right\rangle$$