Energie & Impulssatz in der Elektrodynamik

Energiesatz

 

• Gegeben sei $\vec{E}\left(\vec{r},t\right)$ und $\vec{B}\left(\vec{r},t\right)$ und ein Teilchem mit der Ladung $q$ in diesen Feldern mit $\vec{v}$ bewegt
• $\vec{F}=q\left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)$
  $$\frac{dW_{mech}}{dt}=q\vec{E}\vec{v}$$

Kraftdichte

$\vec{f}\left(\vec{r},t\right)=\varrho\left(\vec{r},t\right)\left[\vec{E}\left(... ...\right)+\vec{v}\left(\vec{r},t\right)\times\vec{B}\left(\vec{r},t\right)\right]$

• $\vec{v}$ ist das Geschwindigkeitsfeld mit dem $\varrho$ strömt
• $\vec{f}\vec{v}=\vec{j}\vec{E}$
  

  $$\frac{dW_{V}}{dt} =_{mech} \int_{V}d^{3}r\;\vec{j}\vec{E}$$

  $$=_{\qquad } \int_{V}d^{3}r\left[-\vec{H}\dot{\vec{B}}-\vec{E}\dot{\vec{D}}-\vec{\nabla}\left(\vec{E}\times\vec{H}\right)\right]$$

  $$=_{elekt} -\int_{V}\left(\frac{\partial w}{\partial t}+\vec{\nabla}\vec{S}\right)$$

  
  

Pointingvektor

$\vec{S}\left(\vec{r},t\right)=\vec{E}\left(\vec{r},t\right)\times\vec{H}\left(\vec{r},t\right)$

• $\frac{dW_{v}^{Strahlung}}{dt}=\int_{\partial V}d\vec{f}\vec{S}$
• $\frac{dW_{v}^{Feld}}{dt}=\int_{V}d^{3}r\frac{\partial w}{\partial t}$
• Achtung, i.A. ist das zeitliche Mittel verlangt $\rightarrow$ steht hier nicht direkt!

Energiestromdichte

$\left\vert\vec{S}\right\vert$

• in Richtung $\frac{\vec{S}}{\left\vert\vec{S}\right\vert}$

Energiedichte

$w\left(\vec{r},t\right)=\frac{1}{2}\left[\vec{H}\vec{B}+\vec{E}\vec{D}\right]$

• Achtung, i.A. ist das zeitliche Mittel verlangt $\rightarrow$ steht hier nicht direkt!

Koninuitätsgleichung Energie

$\underbrace{\frac{\partial w}{\partial t}}_{Feld}+\underbrace{\vec{\nabla}\vec{S}}_{Strahlung}+\underbrace{\vec{j}\vec{E}}_{mechanisch}=0$

• Pointingsches Theorem
• entspricht Energieerhaltung

Feldimpuls

$\vec{p}^{Feld}=\int_{V}d^{3}r$ $\vec{D}\times\vec{B}$

• $\vec{F}=\dot{\vec{p}}$

Maxwellscher Spannungstensor

$T$

$${\scriptstyle T_{ij}=\varepsilon_{r}\varepsilon_{0}E_{i}E_{j}+\fr... ...right\vert^{2}+\frac{1}{\mu_{r}\mu_{0}}\left\vert\vec{B}\right\vert^{2}\right)}$$

• $\vec{T}_{i}=\left(T_{i1},T_{i2},T_{i3}\right)$
  

  $$F_{i} = \frac{d}{dt}\left(\vec{p}_{V}^{mech}+\vec{p}_{V}^{Feld}\right)_{i}$$

  $$= \int_{V}d^{3}r\,\vec{\nabla}\vec{T}_{i}$$

  $$= \int_{\partial V}d\vec{f}\vec{T}_{i}$$

  
  

• Impulsfluss $d\vec{f}\vec{T}_{i}$ durch die Oberfläche $d\vec{f}_{i}$
• $\vec{F}$ gesamte auf das System in $V$ wirkende Kraft
• $\vec{p}_{V}^{mech}$ ist der zusätzliche mechanische Impuls (hier im meistens $=0$)