Taylorreihe II.152

Sei $f\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ beliebig oft differenzierbar, und $x\in\left[a,b\right]$. Die Reihe

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}\left(x-x_{0}\right)^{k}$$

heißt Taylorreihe von $f$ um $x_{0}$. Sie konvergiert an $x$ genau dann gegen $f\left(x\right)$ wenn

$$\lim_{n\rightarrow\infty}R_{n}\left(f,x,x_{0}\right)=0$$

• Nicht jede Taylorreihe konvergiert
• Konvergenz kann evt. nur für Intervalle bestehen
• wichtige Reihen siehe sub:Besondere-Reihen und sub:wichtige-Reihen-II.154.