Kurvenintegrale II.285

glatte Kurve

Sei $\vec{f}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ eine stetige differenzierbare Funktion und $f'\left(t\right)\neq\vec{0}$für $t\in\left[a,b\right]$.

Dann heißt $\vec{f}$ und die Punktmenge $K=\left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\vert\exists_{\left[a,b\right]}^{t}:\vec{x}=\vec{f}\left(t\right)\right\}$ eine glatte Kurve. $t$ heißt Parameter der Kurve, $\left[a,b\right]$ Parameterintervall.

$f$ heißt stückweise glatt, wenn es in den Teilintervallen einer Zerlegung $\left[a,b\right]=\left[a,t_{1}\right]\cup\left[t_{1},t_{2}\right]\cup\ldots\cup\left[t_{n-1},b\right]$ glatt ist, und somit stetig.

geschlossene / doppelpunktfreie Kurve II.286

Eine Kurve $\vec{f}\left(a\right):\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ heißt geschlossen, wenn $\vec{f}\left(a\right)=\vec{f}\left(b\right)$. Ist $\vec{f}$ injektiv auf $\left[a,b\right]$, so heißt $\vec{f}$ doppelpunktfrei.

• doppelpunktfrei $\Rightarrow$ Es ex. keine Teilkurve, die geschlossen ist

Äquivalente Parametrisierung einer Kurve II.287

Durch $\vec{f}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, $\vec{\tilde{f}}:\left[\tilde{a},\tilde{b}\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ werde jeweils eine stückweise glatte Kurve dargestellt. Weiter existiere eine stetig differenzierbare Funktion $\psi:\left[a,b\right]\rightarrow\left[\tilde{a},\tilde{b}\right]$mit $\psi\left(a\right)=\tilde{a}$, $\psi\left(b\right)=\tilde{b}$ und $\psi'\left(t\right)>0$ für alle $t\in\left[a,b\right]$, und es gelte

$$\forall_{\left[a,b\right]}^{t}:\vec{f}\left(t\right)=\vec{\tilde{f}}\left(\psi\left(t\right)\right)$$

Dann heißen $\vec{f},\vec{\tilde{f}}$ zueinander äquivalente Darstellungen der Kurve

$$K=\left\{ \vec{x}\vert\exists_{\left[a,b\right]}^{t}:\vec{x}=\vec... ...e{b}\right]}^{\tilde{t}}:\vec{x}=\vec{\tilde{f}}\left(\tilde{t}\right)\right\}$$

Tangente II.287

Sei $K$ eine Stückweise glatte Kurve, die durch $\vec{f}:\left[a.b\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ dargestellt werde. Der Vektor $\vec{f}'\left(t\right)$heißt Tangentenvektor an $K$ im Punkt $\vec{f}\left(t\right)$,

$$\vec{f_{0}}'\left(t\right)=\frac{\vec{f}'\left(t\right)}{\left\Vert \vec{f}'\left(t\right)\right\Vert }$$

heißt Tangenteneinheitsvektor im Punkt $\vec{f}\left(t\right)$. Die Gerade

$$\vec{f}\left(t\right)+\lambda\vec{f}_{0}'\left(t\right)$$

heißt Tangente an $K$ im Punkt $\vec{f}\left(t\right)$.

• Die Tangenten sind unabhängig von der Parametrisierung ( $\vec{f}=\vec{\tilde{f}}\circ\psi$)
  $\vec{f}_{0}'\left(t\right)=\vec{\tilde{f}}_{0}'\left(\psi\left(t\right)\right)$

Länge einer Kurve II.288

Durch $f$ werde eine glatte, doppelpunktfreie Kurve $K$ dargestellt. Das Integral

$$L\left(K\right)=\int_{a}^{b}\left\Vert \vec{f}'\left(t\right)\right\Vert dt$$

heißt Länge der Kurve $K$.

• Falls Doppelpunkte vorhanden sind $\Rightarrow$ Kurve Auftrennen, bzw. Nullmengen weglassen
• Die Länge einer Kurve ist unabhängig von der Darstellung (Parametrisierung)
  $\int_{a}^{b}\left\Vert \vec{f}'\left(t\right)\right\Vert dt=\int_{\tilde{a}}^{\tilde{b}}\left\Vert \vec{\tilde{f}}'\left(\tilde{t}\right)\right\Vert d\tilde{t}$

Bogenlänge II.291

Sei $K$ eine glatte doppelpunktfreie Kurve, die durch $\vec{f}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ gegeben sei. Dann heißt die Funktion $s:\left[a,b\right]\rightarrow\left[0,L\left(K\right)\right]$, erklärt durch

$$s\left(t\right)=\int_{a}^{t}\left\Vert \vec{f}'\left(\tau\right)\right\Vert d\tau$$

die Bogenlänge der Kurve $K$.

• abhängig von Parametrisierung

Konstantes Durchlaufen einer Kurve II.292

Sei $K$ eine glatte doppelpunktfreie Kurve. Die Bogenlänge $s$ ist eine stetige, differenzierbare, streng monoton wachsende Funktion und besitzt eine Umkehrfunktion $s^{-1}$ mit denselben Eigenschaften. Die Parameterdarstellung $\vec{\tilde{f}}:\left[0,L\left(K\right)\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$, $\vec{\tilde{f}}\left(\tilde{t}\right):=\vec{f}\left(s^{-1}\left(\tilde{t}\right)\right)$ ist zur gegebenen Darstellung $\vec{f}:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ äquivalent, und es gilt

$$\left\Vert \vec{\tilde{f}}'\left(t\right)\right\Vert =1$$

• Bei Parametrisierung durch Bogenlänge durchlaufen wir die Kurve mit konstanter Geschwindigkeit

Vektorfeld / Skalarfeld II.292

Eine auf einer offenen Teilmenge $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ erklärte, stetig differenzierbare Funktion $\vec{V}:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ nennen wir ein Vektorfeld. Entsprechend heißt $P:D\rightarrow\mathbb{R}$ ein Skalarfeld.

Kurvenintegral II.293

Sei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen, $\vec{V}:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ ein Vektorfeld. Sei $K$ eine durch $\vec{f}:\left[a,b\right]\rightarrow D$ gegebene stückweise glatte Kurve. Dann heißt

$$\int_{K}\vec{V}d\vec{s}:=\int_{a}^{b}\vec{V}\left(\vec{f}\left(t\right)\right)\vec{f}'\left(t\right)dt$$

das Kurvenintegral von $\vec{V}$ längs $K$.

• Das Kurvenintegral ist unabhängig von der Parametrisierung von $K$

Potentialfeld II.295

Ein Vektorfeld $\vec{V}:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ heißt Potentialfeld, falls es eine Funktion $P:D\rightarrow\mathbb{R}$mit $\nabla P\left(\vec{x}\right)=\vec{V}\left(\vec{x}\right)$ gibt.

Konvex

$D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ heißt konvex $\Leftrightarrow$ mit je zwei Punkten $\vec{x}_{1},\vec{x}_{2}\in D$ gehört auch die Verbindungsgrade $\left\{ \vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\vert\vec{x}=\vec{x}_{1}+\lambda\left(\vec{x}_{2}-\vec{x}_{1}\right),\lambda\in\left[0,1\right]\right\}$ zu $D$.

Wegunabhängiges Kurvenintegral II.295

Sei $D\subseteq\mathbb{R}^{n}$ offen und konvex und $\vec{V}:D\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ ein Vektorfeld. Dann gilt: Das Kurvenintegral $\int_{K}\vec{V}\ d\vec{s}$ ist wegunabhängig $\Leftrightarrow$ $\vec{V}$ ist ein Potentialfeld.

• Wenn $P$ mit $\nabla P\left(\vec{x}\right)=\vec{V}\left(\vec{x}\right)$ bekannt ist, dann gilt:
  $\int_{K}\vec{V}\ d\vec{s}=P\left(\vec{f}\left(b\right)\right)-P\left(\vec{f}\left(a\right)\right)$

Zentralfeld II.297

Sei $g:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow\mathbb{R}$ stetig. Dann wird durch $\vec{V}\left(\vec{x}\right)=g\left(\left\Vert \vec{x}\right\Vert \right)\frac{\vec{x}}{\left\Vert \vec{x}\right\Vert }$ ein Vektorfeld auf $\mathbb{R}^{n}\backslash\left\{ \vec{0}\right\}$ gegeben. Man bezeichnet solche Felder als Zentralfeld.

• Zentralfelder sind immer Potentialfelder mit:
  $\int_{K}\vec{V}\ d\vec{s}=\int_{\left\Vert \vec{f}\left(a\right)\right\Vert }^{\left\Vert \vec{f}\left(b\right)\right\Vert }g\left(t\right)\ dt$