Schranken

Schranken / Mini- & Maxima

Es sei $\left(X,<\right)$ eine geordnete Menge und sei $A\subseteq X$. Ein Element $x\in X$ heißt obere Schranke (untere Schranke) für $A$, falls für alle $a\in A$ gilt $a\leq x$ (bzw. $a\geq x$). Falls es $a_{0}\in A$ gibt, das obere Schranke (untere Schranke) ist, so heißt $a_{0}$ Maximum (Minimum) von $A$).

• eine Menge kann im allgemeinen mehrere odere / untere Schranken haben, aber höchstens ein Minimum / Maximum
• das Minimum / Maximum muss nicht existieren

Supremum / Infimum

Eine kleinste (größte) obere (untere) Schranke heißt Supremum (Infimum) für $A$, schreibe $x=\textrm{sup}\left(A\right)$ ( $x=\textrm{inf}\left(A\right)$).

Eine geordnete Menge $\left(X,<\right)$ hat Supremumseigenschaft, falls jede Teilmenge $A\subseteq X$ die eine obere Schranke hat, auch ein Supremum besitzt.

• falls $A$ ein Minimum (Maximum) hat, ist dies auch das Infimum (Maximum)
• $\mathbb{Q}$ hat die nicht Supremumseigenschaft
• $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{R}$ haben die Supremumseigenschaft
• Jeder angeordnete Ring / Körper der die Supremumseigenschaft hat, ist auch archimedisch.

Archimedisch

Ein angeordneter kommutativer Ring oder Körper $R$ ist archimedisch, falls es zu jedem Element $r\in R$ ein $n\in\mathbb{N}$ gibt mit $n*1=\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n-mal}\geq r$.

• Ist $R$ ein archimedischer geordneter Körper, und ist $\varepsilon>0$, so gibt es ein $n\in\mathbb{N}\backslash\left\{ 0\right\}$ mit $\frac{1}{n}<\varepsilon$
• $\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ sind archimedisch
• es gibt viele Körper, die nicht archimedisch sind, z.B. die nicht-Standard-Zahlen

Die reellen Zahlen $\mathbb{R}$

Es gibt angeordnete Körper mit der Supremumseigenschaft. Je zwei solcher Körper sind kanonisch isomorph (es gibt genau einen Isomorphismus zwischen ihnen). Ein solcher Körper ist $\mathbb{R}$.