Reihen

Definition

Es sei $\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge. Setze $s_{k}=\sum_{i=0}^{k}a_{i}$. Diese neue Folge $\left(s_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ heißt Partialsummenfolge oder unendliche Reihe, schreibe $\left(s_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$. Falls diese Folge $\left(s_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ konvergiert, spricht mann von einer konvergenten Reihe, ansonsten von einer divergenten Reihe. Für den Grenzwert $s=\lim_{k}s_{k}$ schreibe $\lim_{k}s_{k}=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$.

• Das Symbol $\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}$ hat also mehrere Bedeutungen, den Grenzwert der Reihe und die Reihe selber.

Cauchy Konvergenzkriterium für Reihen

Eine Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ konvergiert genau dann, wenn die Folge $\left(s_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ ihrer Partialsummen eine Cauchy-Folge ist. D.h. die Reihe konvergiert genau dann, wenn es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $n\in\mathbb{N}$ gibt, so dass $\left\vert\sum_{k=l}^{m}a_{k}\right\vert\leq\varepsilon$ für alle $n\leq l\leq m$. Mit Quantoren: $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ ist konvergent $\Leftrightarrow$

$$\forall\varepsilon>0:\exists n\in\mathbb{N}:\forall n\leq l\leq m:\left\vert\sum_{k=l}^{m}a_{k}\right\vert\leq\varepsilon$$

• Insbesondere muss $\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ eine Nullfolge sein, wenn die Reihe konvergieren soll.

Leibnizkriterium

Ist $\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ eine streng monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert die Reihe

$$\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{k}a_{k}$$

Absolute Konvergenz

Eine Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ konvergiert absolut, falls die Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}\left\vert a_{k}\right\vert$ konvergiert. Jede absolut konvergente Reihe konvergiert.

Gleiches Konvergenzverhalten

Sind $\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ und $\left(b_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ Folgen, und gilt $a_{k}=b_{k}$ für fast alle $k\in\mathbb{N}$, so haben die beiden Folgen $\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$, $\left(b_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ und die beiden Reihen $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ und $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}$ das gleiche Konvergenzverhalten

• die Grenzwerte der Reihen können verschieden sein
• die Grenzwerte der Folgen sind gleich

Majorantenkriterium

Sind $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ und $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}$ Reihen mit $\left\vert a_{k}\right\vert\leq\left\vert b_{k}\right\vert$ für fast alle $k$, und wenn $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}$ absolut konvergiert, dann konvergiert auch $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ absolut.

• Analog Minorantenkriterium um zu zeigen, dass eine Reihe nicht konvergiert

Quotientenkriterium

Ist $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ eine Reihe, und gibt es $\Theta\in\mathbb{R}$ mit $0\le\Theta<1$ so dass für fast alle $k$ gilt $\left\vert a_{k+1}\right\vert\le\Theta\left\vert a_{k}\right\vert$. Dann konvergiert die Reihe absolut. Ist jedoch $\left\{ k\in\mathbb{N}\vert\left\vert\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right\vert\ge1\right\}$ eine unendliche Menge divergiert die Reihe. Ansonsten lassen sich keine Aussagen machen.

• Das $\Theta$ muss fest gewählt werden für alle $k$
• oft auch so geschrieben:
  $\exists0\le\Theta<1,\Theta\in\mathbb{R}:\forall k\in\mathbb{N}:\left\vert\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right\vert\le\Theta\Rightarrow\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ konvergiert absolut
• Falls der folgende Grenzwert existiert, muss zusätzlich gelten:
  $\limsup_{k}\left\vert\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right\vert<1$

Wurzelkriterium

Gibt es ein $\Theta\in\mathbb{R}$ mit $\Theta<1$ so, dass $\sqrt[n]{\left\vert a_{n}\right\vert}\le\Theta$ für fast alle $n$, dann konvergiert die Reihe $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ absolut.

$$\exists\Theta<1,\Theta\in\mathbb{R}:\forall n\in\mathbb{N}:\sqrt[n]{\left\vert a_{n}\right\vert}\le\Theta$$

Falls für fast alle $n$ $\sqrt[n]{\left\vert a_{n}\right\vert}\ge1$ ist, divergiert die Reihe.

• Für sowohl unendlich viele kleinere, als auch größere Glieder lässt sich keine allgemeine Aussage machen.

Verdichtungssatz von Cauchy

Sei $\left(a_{n}\right)_{n}$ eine positive, monoton fallende Folge. Dann gilt:

$$\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\textrm{ konvergent}\Leftrightarrow\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}a_{2^{n}}\textrm{ konvergent}$$

Addition von Reihen

Sind $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ und $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}$ konvergent, so auch $\sum_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right)$, mit dem Grenzwert $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}+\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right)$.

Cauchy-Produkt

Sind $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ und $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}$ Reihen, definieren wir ihr Cauchy-Produkt $\sum_{k=0}^{\infty}c_{k}$ durch $c_{k}=\sum_{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}$.

Sind $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}$ und $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}$ absolut konvergent, dann ist ihr Cauch-Produkt ebenfalls absolut konvergent und im Grenzwert gilt: $\sum_{k=0}^{\infty}c_{k}=\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}\right)$.

• Entspricht dem Ausmultiplizieren von zwei geklammerten Summentermen.

Funktionalgleichung der Exponentialfunktion / Logarithmus

$$\exp\left(x\right)=e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^{k}$$

• $\exp:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_{>0}$
• $\exp\left(0\right)=1$
• $\exp\left(-x\right)=\frac{1}{\exp\left(x\right)}$
• $\exp\left(x+y\right)=\exp\left(x\right)\cdot\exp\left(y\right)$
• $\exp\left(x\right)$ ist stetig und streng monoton wachsend
• Umkehrfunktion: natürlicher Logarithmus
  • $\ln:\mathbb{R}_{>0}\rightarrow\mathbb{R}$
  • ist stetig und streng monoton steigend
  • $\exp\left(\ln\left(x\right)\right)=\textrm{id}\vert _{\mathbb{R}_{>0}}$
  • $\ln\left(\exp\left(x\right)\right)=\textrm{id}\vert _{\mathbb{R}}$
  • $\ln\left(1\right)=0$
  • $\ln\left(x\right)+\ln\left(y\right)=\ln\left(x\cdot y\right)$

Die $\exp$-Funktion und der natürliche Logarithmus sind Gruppenisomorphismen. Sie transformieren von einer kommutativen Gruppe in eine andere.

$$\left(\mathbb{R},+,0\right)\leftrightarrow\left(\mathbb{R}_{>0},\cdot,1\right)$$

Wichtige Reihen

geometrische Reihe

$\left\vert x\right\vert<1\Rightarrow\sum_{k=0}^{\infty}x^{k}=\frac{1}{1-x}$

• Ist innerhalb ihres Konvergenzradius stetig.
• $\left\vert x\right\vert<1\Rightarrow\sum_{k=0}^{\infty}\left(n+1\right)x^{n}=\frac{1}{\left(1-x\right)^{2}}$

harmonische Reihe

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ ist divergent.

alternierende harmonische Reihe

$\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k}\frac{1}{k}=\ln2$

Exponentialreihe

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^{k}=\exp\left(x\right)=e^{x}$

• $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=e$
• siehe sub:Funktionalgleichung-der-Exponentialfunktion

Sonstige

• $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$