beschränkte Funktionen

Definition beschränkte Funktion

Sei $A\subseteq\mathbb{R}$. Eine Funktion $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ heißt beschränkt, falls $f\left(A\right)=\left\{ f\left(a\right)\vert a\in A\right\}$ beschränkt ist. D.h. falls es eine Zahl $k\in\mathbb{R}$ gibt, so dass $\left\vert f\left(a\right)\right\vert\leq k$ für alle $a\in A$.

$$f\textrm{ beschränkt }\Leftrightarrow\exists k\in\mathbb{R}:\forall a\in A:\left\vert f\left(a\right)\right\vert\le k$$

Sei $B\left(A,\mathbb{R}\right)=\left\{ f\in\mathbb{R}^{A}\vert f\textrm{ ist beschränkt}\right\}$ die Menge aller beschränkten Funktionen.

$B\left(A,\mathbb{R}\right)$ ist ein reeller Vektorraum und ein Ring, d.h. es gilt $\forall f,g\in B\left(A,\mathbb{R}\right),c\in\mathbb{R}:$

1. $f+g\in B\left(A,\mathbb{R}\right)$
2. $f\cdot g\in B\left(A,\mathbb{R}\right)$
3. $c\cdot f\in B\left(A,\mathbb{R}\right)$

• Ist der Definitionsbereich ein endliches abgeschlossenes Intervall, dann gilt $C\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\subsetneq B\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$. D.h. dass die stetigen Funktionen eine (echte) Teilmenge der beschränkten Funktionen sind.

Supremumsnorm

Für $f\in B\left(A,\mathbb{R}\right)$ setzte

$$\left\Vert f\right\Vert _{\infty}=\sup\left\{ \left\vert f\left(a\right)\right\vert\vert a\in A\right\}$$

$\left\Vert f\right\Vert _{\infty}$ heißt (Supremums-)Norm der Funktion $f$.

• $\left\Vert f\right\Vert _{\infty}=0\Leftrightarrow\forall a\in A:f\left(a\right)=0$
• Dreiecksungleichung
  $\left\Vert f+g\right\Vert _{\infty}\leq\left\Vert f\right\Vert _{\infty}+\left\Vert g\right\Vert _{\infty}$
• $\forall c\in\mathbb{R}:\left\Vert c\cdot f\right\Vert _{\infty}=\left\vert c\right\vert\cdot\left\Vert f\right\Vert _{\infty}$
• $\left\Vert f\cdot g\right\Vert _{\infty}\leq\left\Vert f\right\Vert _{\infty}\cdot\left\Vert g\right\Vert _{\infty}$
• $\left(B\left(A,\mathbb{R}\right),\vert\vert _{\cdot}\vert\vert _{\infty}\right)$ ist ein normierter Vektorraum und sogar eine normierte Algebra dank der Produkteigenschaft der Norm.

gleichmäßige Konvergenz

Ist $\left(f_{n}\right)_{n\in L}$ eine Folge von Funktionen in $B\left(A,\mathbb{R}\right)$, so konvergiert diese Folge gleichmäßig gegen $f\in B\left(A,\mathbb{R}\right)$ genau dann, wenn gilt $\lim_{n}\left\Vert f-f_{n}\right\Vert _{\infty}=0$.

Cauchy-Folge

Eine Folge $\left(f_{n}\right)_{n\in L}$in $B\left(A,\mathbb{R}\right)$ heißt Cauchy-Folge, falls gilt: Zu jedem $\varepsilon>0$ gibt es ein $n\in\mathbb{N}$, so dass $\left\Vert f_{l}-f_{m}\right\Vert _{\infty}\le\varepsilon$ für alle $l,m\ge n$.

$$\forall\varepsilon>0:\exists n\in\mathbb{N}:\forall l,m\ge n:\left\Vert f_{l}-f_{m}\right\Vert _{\infty}\le\varepsilon$$

• Eine Folge $\left(f_{l}\right)_{l\in L}$ in $B\left(A,\mathbb{R}\right)$ ist genau dann eine Cauchyfolge, wenn sie gegen eine Funktion $f\in B\left(A,\mathbb{R}\right)$ gleichmäßig konvergiert.
• Im normierten Raum $\left(B\left(A,\mathbb{R}\right),\vert\vert _{\cdot}\vert\vert _{\infty}\right)$ konvergiert jede Cauchyfolge. Man nennt den Raum daher vollständig oder Banachraum.

Zerlegung

Eine Zerlegung $Z$ von $\left[a,b\right]$ ist eine enliche Folge $Z=\left\{ a=a_{0}<a_{1}<\ldots<a_{r}=b\right\}$. Eine andere Zerlegung $Z'$ heißt feiner als $Z$ falls $Z'\supseteq Z$.

• Falls $Z_{1}$ und $Z_{2}$Zerlegungen von $\left[a,b\right]$ sind, so auch $Z_{1}\cup Z_{2}$, welche feiner ist als $Z_{1}$ und $Z_{2}$.

Stufenfunktion

Eine Funktion $f\in B\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ heißt Stufenfunktion (bzgl. Zerlegung $Z$) falls

$$f\left(x\right)=\begin{cases} y_{k} & \textrm{falls }a_{k}<x<a_{k+1}\\ w_{k} & \textrm{falls }x=a_{k}\end{cases}$$

Die Menge aller Stufenfunktionen wird mit $\textrm{Step}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)\subsetneq B\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ bezeichnet.

• Falls $f$ eine Stufenfunktion bzgl. $Z$ ist, und falls $Z'$ feiner als $Z$ ist, dann ist $f$ auch Stufenfunktion bzgl. $Z'$
• Eine Stufenfunktion muss endlich viele Stufen haben
• Ist $f$ Stufenfunktion bzgl. $Z_{1}$ und $g$ Stufenfunktion bzgl. $Z_{2}$, dann sind $f+g$, $f\cdot g$ und $c\cdot f$ (für $c\in\mathbb{R}$) Stufenfunktionen bzgl. $Z_{1}\cup Z_{2}$.
• $\textrm{Step}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)<B\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$ ist Untervektorraum der beschränkten Funktionen. Außerdem ist diese Menge ein Ring. Somit also eine Algebra.
• Die Einschränkung einer Stufenfunktion ist wieder eine Stufenfunktion.

Charakteristische Funktion

Ist $A\subseteq\mathbb{R}$ eine Teilmenge der reellen Zahlen, so heißt die Funktion

$$\chi_{A}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}:\chi_{A}\left(x\right)=\begin{cases} 1 & \textrm{falls }x\in A\\ 0 & \textrm{falls }x\notin A\end{cases}$$

die charakteristische Funktion der Menge $X$.