Weitere Eigenschaften des Integrals

Integral über Einschränkung

Ist $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ Regelfunktion und $a\le u<v\le b$. Dann ist die Einschränkung $f\vert _{\left[u,v\right]}$ eine Regelfunktion auf $\left[u,v\right]$. Wir setzen

$$\int_{u}^{v}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\vert _{\left[u,v\right]}\left(x\right)dx$$

Vertauschung von Grenzen

Wir legen fest:

$$\int_{u}^{u}f\left(x\right)dx=0$$

$$\int_{v}^{u}f\left(x\right)dx=-\int_{u}^{v}f\left(x\right)dx\;\textrm{für}\; u<v$$

Zerteilung von Integralen

Für alle $a,b,c\in\left[a,c\right]$ und $f\in R\left(\left[a,c\right],\mathbb{R}\right)$ gilt stets

$$\int_{a}^{c}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx+\int_{b}^{c}f\left(x\right)dx$$

Integral über Funktionsfolge

Sei $\left(f_{n}\right)_{n\in L}$ eine Folge von Regelfunktionen, die gleichmäßig gegen eine Regelfunktion $f$ konvergiert. Dann gilt

$$\lim_{n}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx$$

• eine solche Regel gilt bei der Differentiation im Allgemeinen nicht.

Differential von Funktionenfolgen

Sei $\left(f_{n}\right)_{n\in L}$ Folge in $C^{1}\left(\left[a,b\right],\mathbb{R}\right)$. Falls die Folge $\left(f_{n}'\right)_{n\in L}$ gleichmäßig konvergiert und falls die Folge $\left(f_{n}\right)_{n\in L}$ punktweise konvergiert, dann ist der Grenzwert der Folge stetig differenzierbar und seine Ableitung ist der Grenzwert der Folge $\left(f_{n}'\right)_{n\in L}$ .

gerade und ungerade Funktionen

• Die Stammfunktion einer geraden Funktion ist eine ungerade Funktion
• Die Stammfunktion einer ungeraden Funktion ist eine gerade Funktion
• wenn $f\left(x\right)=-f\left(-x\right)$ ungerade ist, gilt $\int_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=0$