Zusammenhang von Differential- und Integeralrechung

1. Hauptsatz der Differential- und Integralrechung

Es sei $f:\left[a,b\right]\rightarrow\mathbb{R}$ stetig, sei $x_{0}\in\left[a,b\right]$. Setze

$$F\left(x\right)=\int_{x_{0}}^{x}f\left(t\right)dt$$

für $x\in\left[a,b\right]$.

$F$ ist stetig und auf $\left(a,b\right)$ stetig differenzierbar, mit $F'=f$.

Stammfunktion

$F$ heißt Stammfunktion zu $f$, falls $F'=f$.

• Stammfunktionen sind bis auf Konstante eindeutig. Wenn $F$ Stammfunktion von $f$ ist, ist auch $F+c$ Stammfunktion für $f$ mit $c\in\mathbb{R}$ konstant.

2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechung

Ist $F:\left(a,b\right)\rightarrow\mathbb{R}$ stetig differenzierbar und $a<u<v<b$, gilt

$$\int_{u}^{v}F'\left(x\right)dx=F\left(x\right)\vert _{u}^{v}=F\left(v\right)-F\left(u\right)$$

Integral einer Potenzreihe

Ist $f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}$ und hat diese Potenzreihe einen Konvergenzradius $R$. Für $\left[a,b\right]\subseteq\left(-R,R\right)$ gilt

$$\int_{a}^{b}\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}\right)dx=\left.\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k+1}x^{k+1}\right\vert _{a}^{b}$$

• Eine Stammfunktion für $f$ ist also z.B.
  $F\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}}{k+1}x^{k+1}+c$
• Potenzreihen darf man ``naiv'' integrieren

Ableitung einer Potenzreihe

Ist $f\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}$ Potenzreihe mit Konvergenzradius $R>0$, so ist $f$ glatt, und

$$f'\left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(k+1\right)a_{k+1}x^{k}$$

mit dem gleichen Konvergenzradius $R$.

• Potenzreihen darf man ``naiv'' ableiten

Partielle Integration

$${\scriptstyle \int_{a}^{b}f\left(x\right)g'\left(x\right)dx=\left... ...eft(x\right)\right\vert _{a}^{b}-\int_{a}^{b}f'\left(x\right)g\left(x\right)dx}$$

• Das ist das Integral über der Produktregel
• $g$ und $f$ auf jeden Fall incl. Ableitungen herausschreiben
  • auf jeden Fall Probe (Ableiten) machen, man vertut sich sehr schnell
  • $p\left(x\right)e^{x}$ bzw. $p\left(x\right)\sin\left(x\right)$, ... sind auf diese Weise behandelbar
• Auf jeden Fall Probe!!!

Integration durch Substitution

$$\int f\left(\phi\left(t\right)\right)\cdot\phi'\left(t\right) dt=\left(\int f\left(x\right)dx\right)_{x=\phi\left(t\right)}$$

$$\int f\left(x\right) dx=\left(\int f\left(\phi\left(t\right)\right)\cdot\phi'\left(t\right) dt\right)_{t=\phi^{-1}\left(x\right)}$$

1. Gebrauchsanweisung
   1. Eine passende Ersetzung suchen
      1. $t=g\left(x\right)$
      2. diese Ableiten $\frac{dt}{dx}=g'\left(x\right)=\ldots$
      3. umstellen $dx=\frac{dt}{g'\left(x\right)}=\ldots$
   2. Im Integral Substituieren mit Hilfe von (a).i (bzw. $x=g^{-1}\left(t\right)=\ldots$) und (a).iii
   3. Versuchen Stammfunktion zu bilden
      1. wenn es nicht klappt, evtl. andere Substitution versuchen
      2. evtl. passend klammern, um bekannte Integrale zu Nutzen
   4. Im Ergebnis (Stammfunktion) zurücksubstituieren mit (a).i
2. Gebrauchsanweisung
   1. Eine passende Ersetzung suchen
      1. $x=\phi\left(t\right)$
      2. diese Ableiten $\frac{dx}{dt}=\phi'\left(t\right)=\ldots$
      3. umstellen $dx=\phi'\left(t\right)dt=\ldots$
   2. Umkehrfunktion bilden $t=\phi^{-1}\left(x\right)$
   3. Im Integral Subtituieren mit Hilfe von (a).i und (a).iii
   4. Versuchen Stammfunktion zu bilden
      1. wenn es nicht klappt, evtl. andere Substitution versuchen
      2. evtl. passend klammern, um bekannte Integrale zu Nutzen
   5. Im Ergebnis (Stammfunktion) zurücksubstituieren mit (a).i

• Beide Methoden äquivalent durch Regel der Ableitung der Umkehrfunktion.
• In der Tabelle cap:Substitution-unbestimmten-Int hat man eine Übersicht von geeigneten Substitutionen.
• So Klammern und Substituieren, das es auf etwas bekanntes (z.B. Ableitungen von Trigonometrischen-, Hyperbolischen- oder Areafunktioen) zurückführen lässt.
• Auf jeden Fall Probe!!!

Table 1: Substitution zur unbestimmten Integration ($R$ ist eine rationale Funktion in $x,y$)

Funktion	Methode	$t$	$x$
$R\left(x\right)$	Polynomdivision + Partialbruchzerlegung
$R\left(x,\sqrt[k]{ax+b}\right)$	Substitution	$t=\sqrt[k]{ax+b}$	$x=\frac{t^{k}}{a}-\frac{b}{a}$
$R\left(x,\sqrt[k]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)$	Substitution	$t=\sqrt[k]{\frac{ax+b}{cx+d}}$	$x=\frac{b-dt^{k}}{ct^{k}-a}$
$R\left(\sin\left(ax\right),\cos\left(ax\right)\right)$	Substitution	$t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$	$x=2\textrm{arctan}\left(t\right)$
$R\left(e^{ax},e^{-ax}\right)$	Substitution	$t=e^{ax}$	$x=\frac{\ln\left(t\right)}{a}$
$R\left(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c}\right)$	Substitution	$t=\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^{2}}}$ bzw. $t=\frac{2ax+b}{\sqrt{b^{2}-4ac}}$

Beispiele einiger Integrale

• für $n\neq-1$
  $\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}$
• $\int\frac{1}{x}dx=\ln\left(x\right)$
• $\int\frac{h'\left(x\right)}{h\left(x\right)}dx=\ln\left(h\left(x\right)\right)$
• $\int\cos\left(x\right)dx=\sin\left(x\right)$
• $\int\sin\left(x\right)dx=-\cos\left(x\right)$
• $\int\exp\left(x\right)dx=\exp\left(x\right)$
• $\int\cos^{2}\left(x\right)dx=\frac{x+\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}{2}$
  $\int\sin^{2}\left(x\right)dx=\frac{x-\sin\left(x\right)\cos\left(x\right)}{2}$