Mechanik

Das Ziel ist es die Grundgesetze der klassischen Mechanik so umzuschreiben, das forminvariant sind gegenüber der Lorenztransformation (behalten Form bei).

Kinematik

Alle hier aufgeführten Größen sind Lorentzinvariant

Differential

$dx^{\mu}=\left(c\cdot dt,dx,dy,dz\right)$

Bogenelement

$\left(ds\right)^{2}=dx^{\mu}dx_{\mu}=c^{2}\left(dt\right)^{2}-\left(d\vec{x}\right)^{2}$

Eigenzeit

$\left(d\tau\right)^{2}=\frac{1}{c^{2}}\left(ds\right)^{2}=\left(dt\right)^{2}-\frac{1}{c^{2}}\left(d\vec{x}\right)^{2}=\left(dt'\right)^{2}$

• $dt'$ ist im mitgeführten Inertialsystem mit Relativgeschwindigkeit $v$

Zeit

$dt=\gamma d\tau>d\tau$

• Das heißt die Eigenzeit geht immer nach!

Geschwindigkeit

$u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}=\gamma\frac{dx^{\mu}}{dt}=\gamma\left(c,\vec{v}\right)$

• es gilt $u^{\mu}u_{\mu}=c^{2}$
• Im mitgeführten Inertialsystem $\left(c,\vec{0}\right)$

Dynamik

relativisitsche Masse

$m\left(v\right)=\gamma\left(v\right)m$

Minkowski-Kraft

$K^{\mu}=m\frac{du^{\mu}}{d\tau}=\gamma\left(\frac{\vec{F}\vec{v}}{c},F_{x},F_{y},F_{z}\right)$

• $K^{\mu}u_{\mu}=0$
• $\vec{F}\vec{v}=\frac{d}{dt}\left(\gamma mc^{2}\right)$
• Im mitgeführten Inertialsystem $\left(0,\vec{F}\right)$

Kinetische Energie

identisch mit relativistischer Energie

Relativiteische Energie

$E=T=\sqrt{c^{2}\vec{p}^{2}+m^{2}c^{4}}=\gamma mc^{2}$

• Für $v\lll c$ gilt $T=mc^{2}+\frac{1}{2}mv^{2}$
• ist Erhaltungsgröße und Lorenzinvariant
• Impulserhaltung $\Leftrightarrow$ Energieerhaltung

Ruheenergie

$mc^{2}$

Vierer-Impuls

 

$$p^{\mu}=mu^{\mu}=\left(\frac{T}{c},\gamma mv_{x},\gamma mv_{y},\gamma mv_{z}\right)=\left(\frac{T}{c},\vec{p}\right)$$

• $p^{2}=m^{2}c^{2}$
• $\vec{p}=m\left(v\right)\vec{v}$
• ist Erhaltungsgröße und Lorenzinvariant
• Impulserhaltung $\Leftrightarrow$ Energieerhaltung