Numerische Integration von Zustands-DAEs

Next: Index Up: Modulare Modellbildung und Simulation Previous: Modulare Modellbildung Contents Index

Subsections

Bisher betrachtete Bewegungsgleichungen eines dynamischen Systems
- basieren auf einem minimalen Satz von Zustandsvariablen (Minimalkoordinaten)
- führen auf Systeme gewöhnlicher DGLn (ordinary differential equations, ODEs), die numerisch effiziernt integriert werden können
- aber nicht alle Systeme sind leicht in Minimalkoordinaten formulierbar
Rechnergestützte, modulare Modellierung
- führt auf Systeme differential-algebraischer Gleichungen (DAEs)
- Integration von DAEs ist aufwendiger als von ODEs

DGLn mit Nebenbedingungen

$\displaystyle \dot{x}_{d}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(x_{d},x_{a}\right)$

0 $\displaystyle =$ $\displaystyle h\left(x_{d},x_{a}\right)$
benötigt konsistente Anfangswerte, d.h.

$\displaystyle x_{d}\left(0\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_{d,0}$

$\displaystyle x_{a}\left(0\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_{a,0}$

0 $\displaystyle =$ $\displaystyle h\left(x_{d,0},x_{a,0}\right)$
Totale Differentiation der Nebenbedingung nach der Zeit

$\displaystyle 0=\frac{\partial h\left(x_{d},x_{a}\right)}{\partial x_{d}}\cdot\... ...\frac{\partial h\left(x_{d},x_{a}\right)}{\partial x_{a}}\cdot\frac{dx_{a}}{dt}$
Wenn Jakobimatrix von nach $x_{a}$ invertierbar ist, kann formal nach $x_{a}$ aufgelöst werden

$\displaystyle \dot{x_{a}}=-\left(\frac{\partial h\left(x_{d},x_{a}\right)}{\par... ...rtial h\left(x_{d},x_{a}\right)}{\partial x_{d}}\cdot f\left(x_{d},x_{a}\right)$
Mit dieser und der Gleichung $\dot{x_{d}}=f\left(x_{d},x_{a}\right)$ erhält man so wieder eine ODE die wie bisher gelöst werden kann

Kriterium für die Schwierigkeit der numerischen Lösung einer DAE ist der sogenannte Index
Es gibt verschiedene Index-Definitionen. Wichtigster und häufigster ist:
Differentieller Index einer DAE ist die kleinste Anzahl der nötigen Differentiationen, so dass

$\displaystyle \frac{d^{j}}{dt^{j}}h\left(x_{d},x_{a}\right)$
explizit nach $\dot{x_{a}}$ auflösbar ist.
Je größer des Index ist, um so schwieriger ist die numerische Integration!
Möglichkeit der Bifurkation (Verzweigung) der Lösung

$x_{a}$ als Funktion von $x_{d}$ auffassen

$\displaystyle 0=h\left(x_{d}\left(t\right),x_{a}\left(t\right)\right)$
und $x_{d}\left(t\right)$ bekannt $\Rightarrow$ $x_{a}=x_{a}\left(x_{d}\right)$
ODE-Integrationsverfahren kombiniert mit nichtlinearen Gleichungslöser
Besser: Spezailverfahren für DAEs

Bei numerischer unvermeidlicher Abweichung von exakter Lösung für $x_{a}$ ``driftet'' die numerische Lösung ab
Abhilfe: (impliziter) Prädiktor/Korrektor-Ansatz

Impliziter Ansatz (z.B. Euler)

$\displaystyle {\scriptstyle \frac{x_{d}\left(t+\Delta t\right)-x_{d}\left(t\right)}{\Delta t}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(x_{d}\left(t+\Delta t\right),x_{a}\left(t+\Delta t\right)\right)$

0 $\displaystyle =$ $\displaystyle h\left(x_{d}\left(t+\Delta t\right),x_{a}\left(t+\Delta t\right)\right)$
Numerische Lösung mit Newton-Verfahren nach $x_{d}\left(t+\Delta t\right),x_{a}\left(t+\Delta t\right)$

0 $\displaystyle =$ $\displaystyle {\scriptstyle \Delta t\cdot f\left(x_{d}\left(t+\Delta t\right),x... ...left(t+\Delta t\right)\right)-x_{d}\left(t+\Delta t\right)-x_{d}\left(t\right)}$

0 $\displaystyle =$ $\displaystyle {\scriptstyle h\left(x_{d}\left(t+\Delta t\right),x_{a}\left(t+\Delta t\right)\right)}$
Benötigt Invertierbarkeit der entsprechenden Jakobimatrix:

$\displaystyle \left(\begin{array}{cc} \Delta t\frac{\partial f}{\partial x_{d}}... ...c{\partial h}{\partial_{d}} & \frac{\partial h}{\partial_{a}}\end{array}\right)$
- Vorraussetzung: Index 1
- DAEs vonhöherem Index müssen auf Index 1 reduziert werden

Einbettung in steifes ODE-System für $\varepsilon$ sehr klein

$\displaystyle \dot{x}_{d}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f\left(x_{d},x_{a}\right)$

$\displaystyle \varepsilon\cdot\dot{x}_{a}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h\left(x_{d},x_{a}\right)$
Untersuchung von (implizieten) Runge-Kutta und Extrapolationsverfahren für Grenzfall $\varepsilon=0$ liefern effiziente und zuverlässige DAE-Integratoren
Sehr verbreitet sind auch implizite Mehrschrittverfahren: z.B.: BDF-Verfahren, DASSL

Hierbei handelt es sich um einen bipartiten Graphen mit gerichteten und ungerichteten Kanten
- Für jede Gleichung wird das Gleichungsymbol in einen Kreis geschrieben und als Knoten verwendet
- Für jede in den Gleichungen vorkommende Variable gibt es einen Knoten (aber ohne Umkreisung)
Die gerichteten Kanten zwischen den Variablen und Gleichungen deuteten an, dass die Gleichung nach dieser Variablen auflösbar ist
Falls eine Variable zwar in einer Gleichung vorkommt, diese aber nicht nach ihr auflösbar ist, wird eine ungerichtete Kante verwendet
Alle Variablen, von denen mindestens zwei Formeln abhängen und mindestens eine Formel nach auflösbar ist lassen sich durch Gleichsetzen oder Einsetzen eliminieren
Interessante Fragestellung: Lässt sich diesem Graphen der Index ansehen?

Next: Index Up: Modulare Modellbildung und Simulation Previous: Modulare Modellbildung Contents Index

Marco Möller 17:20:55 24.10.2005

$\displaystyle \dot{x}_{d}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f\left(x_{d},x_{a}\right)$
0	$\displaystyle =$	$\displaystyle h\left(x_{d},x_{a}\right)$

$\displaystyle x_{d}\left(0\right)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle x_{d,0}$
$\displaystyle x_{a}\left(0\right)$	$\displaystyle =$	$\displaystyle x_{a,0}$
0	$\displaystyle =$	$\displaystyle h\left(x_{d,0},x_{a,0}\right)$

$\displaystyle {\scriptstyle \frac{x_{d}\left(t+\Delta t\right)-x_{d}\left(t\right)}{\Delta t}}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle f\left(x_{d}\left(t+\Delta t\right),x_{a}\left(t+\Delta t\right)\right)$
0	$\displaystyle =$	$\displaystyle h\left(x_{d}\left(t+\Delta t\right),x_{a}\left(t+\Delta t\right)\right)$

0	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\scriptstyle \Delta t\cdot f\left(x_{d}\left(t+\Delta t\right),x... ...left(t+\Delta t\right)\right)-x_{d}\left(t+\Delta t\right)-x_{d}\left(t\right)}$
0	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\scriptstyle h\left(x_{d}\left(t+\Delta t\right),x_{a}\left(t+\Delta t\right)\right)}$