Erzwungene Schwingungen

Anregung eines gedämpft schwingenden Systems durch eine von Außen wirkende periodische Kraft (sinusförmig).

Allgemein

$\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x+2\varrho\dot{x}=\alpha_{0}\cos\left(w_{1}t\right)$

• Bei Feder $\omega_{0}^{2}=\frac{D}{m}$ und $2\varrho=\frac{\gamma}{m}$ wobei $\gamma$ Reibungskonstante
• $\alpha_{0}=\frac{F_{0}}{m}$ von außen wirkende Kraft geteilt durch die Schwingmasse

Lösung

$x\left(t\right)=\epsilon\cos\left(\omega_{1}t+\varphi\right)$

• $\varphi=\arctan\left(-\frac{2\varrho\omega_{1}}{\omega_{0}^{2}-\omega_{1}^{2}}\right)$
• $\epsilon=\frac{\alpha_{0}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{1}^{2}\right)^{2}+\left(2\varrho\omega_{1}\right)^{2}}}$

Verhalten

 

• Amplitude der Schwingung ist um so größer, je größer $\alpha_{0}$ ist
• Amplitude der Schwingung ist um so größer, je geringer der Unterschied zwischen $\omega_{0}$ und $\omega_{1}$ ist.
• Amplitude der Schwingung ist um so größer, je geringer die Dämpfung $\varrho$ ist.
• $\epsilon_{max}$ bei $\omega_{m}$ knapp unter $\omega_{0}$ bzw bei $\omega_{m}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\varrho^{2}}$
• $\epsilon\left(\omega_{0}\right)\approx\epsilon\left(\omega_{m}\right)$
• Phase bleibt im Resonanzfall um $\frac{\pi}{2}$ zurück.

  Gütefaktor

  $Q=\omega_{0}\tau=\frac{\epsilon\left(\omega_{m}\right)}{\epsilon_{0}\left(\ome... ...)}{\epsilon_{0}\left(\omega_{1}=0\right)}=\frac{\alpha_{0}}{2\varrho\omega_{0}}$

  • mit $\tau=\frac{1}{2\varrho}=\frac{m}{\gamma}$